ON
ADMICRO
VIDEO

Bài tập 14 trang 120 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 14 trang 120 SGK Hình học 10 NC

Cho parabol (P): \({y^2} = \frac{1}{2}x\). Gọi M, N là hai điểm di động trên (P) sao cho OM⊥ON (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

Giả sử M(2y21;y1) ∈ (P), N(2y22;y2) ∈ (P) trong đó y1,y2 ≠ 0 và y1 ≠ y2

Vì \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON}  = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)

Suy ra 4y1y2+1 = 0 ⇔ \({y_1}{y_2} =  - \frac{1}{4}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN}  = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2;{y_2} - {y_1}} \right)\\
 = \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1};1} \right)
\end{array}\)

Vì y1 ≠ y2 nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là (2y1+2y2;1)

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là:

\(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2{y_1} - 2{y_2}} \right)\)

Phương trình tổng quát của MN là:

1.(x−2y21)−(2y1+2y2).(y−y1) = 0

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay y = 0 vào (*) ta được

\(x - 2y_1^2 + 2y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy MN đi qua điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\) cố định.

-- Mod Toán 10 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 14 trang 120 SGK Hình học 10 NC HAY thì click chia sẻ 
AMBIENT

 

AMBIENT
1=>1