Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\). Tìm \(T\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng.

Tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện

\(TA = TB = TC \)\(⇒ TA^2= TB^2= TC^2\)

\(⇒ {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9\) \(= {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 14y + 49\)

\( \Leftrightarrow  - 4x + 8y - 28 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\)

\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 \) \(= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} + 16y + 64\)

\( \Leftrightarrow  - 14x - 22y - 48 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\)

Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr 
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)\)

Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = ( 18;-1);\overrightarrow {TG}  = \left( {6; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG} \)

Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng.