Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \(3x – 4y + 12 = 0\) và \(12x+5y-7 = 0.\)

Gọi \(\displaystyle M(x; y)\) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.

Khi đó, khoảng cách từ \(\displaystyle M\) đến \(\displaystyle d_1 : 3x  - 4y + 12 = 0\) là:

\(\displaystyle d(M,{d_1}) = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }} \) \(\displaystyle = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}\)

Khoảng cách từ \(\displaystyle M\) đến \(\displaystyle d_2: 12x + 15y – 7 = 0\) là:

\(\displaystyle d(M,{d_2}) = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }} \) \(\displaystyle  = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}\)

Ta có: \(\displaystyle M\) thuộc đường  phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(\displaystyle d_1\) và \(\displaystyle d_2\) nên cách đều hai đường thẳng đó.

Suy ra: 

\(\displaystyle \eqalign{
& d(M,{d_1}) = d(M,{d_2})\cr& \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr
{{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right.\cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
13\left( {3x - 4y + 12} \right) = 5\left( {12x + 5y - 7} \right)\\
13\left( {3x - 4y + 12} \right) = - 5\left( {12x + 5y - 7} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
39x - 52y + 156 = 60x + 25y - 35\\
39x - 52y + 156 = - 60x - 25y + 35
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
21x + 77y - 191 = 0\\
99x - 27y + 121 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi \(\displaystyle d_1\) và \(\displaystyle d_2\) là:

\(\displaystyle \Delta _1: 21x + 77y – 191 = 0\)

\(\displaystyle \Delta _2: 99x – 27y + 121 = 0\)