Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

Hãy nên các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực.​

Hãy nên các tính chất của hàm số luỹ thừa.

Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit. 

Tìm tập xác định của các hàm số

a) $y=\frac{1}{3^x-3}.$

b) $y=log\frac{x-1}{2x-3}.$

c) $y=log\sqrt{x^2-x-12}.$

d) $y=\sqrt{25^x-5^x}$.

Biết 4^x + 4^-x = 23. Hãy tính: 2^x + 2^-x

Cho $log_ab=3, log_ac=-2$. Tính $log_ax$ với:

a) $x=a^3b^2\sqrt{c};$

b) $x=\frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}$.

Giải các phương trình sau:

a) 3^x+4 + 3.5^x+3 = 5^x+4 + 3^x+3

b) 25^x – 6.5^x + 5 = 0

c) 4.9^x + 12^x – 3.16^x = 0

d) log₇ (x-1). log₇x = log₇x

e) $log_3x+log_{\sqrt{3}}x+log_\frac{1}{3}x=6$

g) $log\frac{x+8}{x-1}=logx$

Giải các bất phương trình:

a) 2^2x-1+ 2x^2x-2 + 2^2x-3 ≥ 448

b) (0,4)^x – (2,5)^x+1 > 1,5

c) $log_3\left [ log_\frac{1}{2}(x^2-1) \right ]<1$

d) $log_{0,2}^2x-5log_{0,2}x < -6$

Tập xác định của hàm số $y= log \frac{x-2}{1-x}$ là:

(A) ($-\infty$, 1) ∪ (2, $+\infty$)                 (B) (1, 2)

(C) R\{1}                                         (D) R\{1, 2}

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

(A) ln x > 0 ⇔ x > 1

(B) log₂ x < 0 ⇔ 0< x < 1

(C) $log_{\frac{1}{3}}a>log_{\frac{1}{3}}b\Leftrightarrow a>b>0$

(D) $log_{\frac{1}{2}}a=log_{\frac{1}{2}}b\Leftrightarrow a=b>0$

Cho hàm số f(x) = ln (4x – x²). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

(A) f’ (2) = 1                                     (B). f’(2) = 0

(C) f’(5) = 1,2                                   (D). f’(-1) = -1,2

Cho hàm số $g(x)=log_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+7)$. Nghiệm của bất phương trình là g(x) > 0 là:

(A) x > 3                                                    (B)  x < 2 hoặc x > 3

(C) 2 < x < 3                                               (D) x < 2

Trong các hàm số $f(x)=ln\frac{1}{sinx}; g(x)=ln\frac{1+sin x}{cosx};h(x)=ln\frac{1}{cosx}$

Hàm số có đạo hàm là $\frac{1}{cosx}$?

(A) f(x)                              (B) g(x)                         

(C) h(x)                            (D) g(x) và h(x)

Số nghiệm của phương trình $2^{2x^2-7x+5}=1$ là:

(A). 0                      (B). 1                     (C). 2                                  (D). 3

Nghiệm của phương trình 10^log9 = 8x + 5 là

A. 0         B.  $\frac{1}{2}$                   (C). $\frac{5}{8}$                   (D). $\frac{7}{4}$

Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) $y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}$

b) $y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}$

c) $y = \sqrt {\log x + \log \left( {x + 2} \right)}$

d) $y = \sqrt {\log \left( {x - 1} \right) + \log \left( {x + 1} \right)}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) $y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}$

b) $y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)$

c) $y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}$

d) $y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x$

e) $y = (3{x^2} - 2){\log _2}x$

g) $y = \ln (\cos x)$

h) $y = {e^x}\sin x$

i) $y = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{x}$

Giải các phương trình sau :

a) ${9^x} - {3^x} - 6 = 0$

b) ${e^{2x}} - {3^{ex}} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0$

c) ${3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}$

d) ${2^{{x^2} - 1}} - 3{x^2} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}$

Giải các phương trình sau :

a) $\ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x$

b) ${\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)$

c) ${2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400$

d) ${\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0$

Giải các phương trình sau :

a) ${e^2} + \ln x = x + 3$

b) ${3^{4 - \ln x}} = x$

c) $(5 - x)\log (x - 3) = 0$

Giải các bất phương trình mũ sau :

a) ${(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1$

b) ${2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}$

c) $\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}$

d) $\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}$

Giải các bất phương trình lôgarit sau :

a) $\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0$

b) $\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0$

c) $\log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)$

d) $\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2$

Giải các bất phương trình sau :

a) $(2x - 7)\ln (x + 1) > 0$

b) $(x + 5)(\log x + 1) < 0$

c) $2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0$

d) $\ln (3{e^x} - 2) \le 2x$

Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho : 

a) ${{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} \le {{10}^{ - 9}}}$

b) ${3 - {{\left( {\frac{7}{5}} \right)}^n} \le 0}$

c) ${1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} \ge 0,97}$

d) ${{{\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)}^n} \ge 2}$

Nếu ${a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ và ${\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}$ thì:

A. 0 < a < 1, b > 1

B. 0 < a < 1, 0 < b < 1

C. a > 1, b > 1

D. a > 1, 0 < b < 1

Hàm số $y = {x^2}{e^{ - x}}$ tăng trong khoảng 

A. ${\left( { - \infty ;0} \right)}$ 

B. ${\left( {2; + \infty } \right)}$

C. ${\left( {0;2} \right)}$

D. ${\left( { - \infty ; + \infty } \right)}$

Hàm số $y = \ln \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)$ có tập xác định D = R khi :

A. m = 2

B. m > 2 hoặc m < −2

C. m < 2

D. −2 < m < 2

Đạo hàm của hàm số y=x(lnx−1)$y=x(\ln x-1)$ là:

A. $\ln x - 1$

B. $\ln x$

C. $\frac{1}{x} - 1$

D. 1

Nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1$ là:

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {{3^x} - 2} \right) < 0$ là :

A. x > 1

B. x < 1

C. 0 < x < 1

D. ${{{\log }_3}2 < x < 1}$

Tập nghiệm của phương trình ${3^x} \ge 5 - 2x$ là :

Cho hàm số $y = \frac{{\ln x}}{x}$. Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số có một cực tiểu
B. Hàm số có một cực đại
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

 Phương trình ${3^{{x^2} - 2x + 1}} = 1$ có nghiệm là:

A. x = 1

B. x = 0

C. x = −1

D. ${x = \frac{1}{3}}$

Tìm tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - x - 4}} - 4 = 0$

A. {1;2}

B. {2;3}

C. {−2;3}

D. {2;−3}

Tìm tập nghiệm của phương trình ${x^{\lg 4}} + {4^{\lg x}} = 32$

A. {100}

B. {10}

C. {100;10}

D. {4}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình ${\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1$
A. {1}

B. {2}

C. {1;2}

D. {−1;2}

Số nghiệm của phương trình $\lg \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \lg (x - 3)$ là:
A. 2

B. 1

C. 0

D. vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình $\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}$
A. ${\left\{ 2 \right\}}$

B. ${\left\{ {\frac{1}{4}} \right\}}$

C. ${\left\{ {2;\frac{1}{4}} \right\}}$

D. ${\left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}}$

Tìm nghiệm của bất phương trình $\frac{{{2^{2x}}}}{8} > 1$

A. ${x > \frac{3}{2}}$

B. ${x < \frac{3}{2}}$

C. ${x > \frac{2}{3}}$

D. ${x < \frac{2}{3}}$

Tìm nghiệm của bất phương trình $\frac{{{2^x}}}{2} < {2^{\sqrt {7 - x} }}$
A. x < 3

B. $x \ge 1$

C. $1 \le x < 3$

D. x < 1

Tìm x, biết ${\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = \sqrt[3]{2}$
A. ${x = 3}$

B. ${x = \frac{3}{2}}$

C. ${x = \frac{2}{3}}$

D. ${x = \frac{1}{6}}$

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình ${0,{{125.4}^{2x}} = {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)}^{ - x}}}$

A. {6}

B. {4}

C. {2}

D. {1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình ${25^x} - {6.5^{x + 1}} + {5^3} = 0.$
A. {1;2}

B. {5;25}

C. {−1;2}

D. {2;−1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình ${5.4^x} - {7.10^x} + {2.25^x} = 0$
A. ${\left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}}$

B. ${\left\{ {1;\frac{5}{2}} \right\}}$

C. {0;1}

D. {0;−1}

Tìm tập nghiệm của phương trình ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$
A. ${\left\{ {0;{{\log }_2}\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right\}}$ 

B. ${\left\{ 0 \right\}}$

C. ${\left\{ { - {{\log }_2}3} \right\}}$

D. ${\left\{ {0;{{\log }_3}2} \right\}}$

Tìm x, biết ${2^x} + {3^x} = {5^x}$
A. x = 0

B. x = 1

C. x = −1

D. x = 2

Phương trình $1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}$ có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình $\frac{1}{{25}}{.5^x} + x = 3$
A. ${\left\{ {2;{{\log }_5}3} \right\}}$

B. ${\left\{ {5;{{\log }_5}2} \right\}}$

C. ${\left\{ {5;{{\log }_5}2} \right\}}$

D. ${\left\{ 2 \right\}}$

Tìm x, biết ${\log _2}x =  - 2$
A. x = −4

B. $x = \frac{1}{4}$

C. $x = -\frac{1}{4}$

D. x = 4

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình ${\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x = 11$
A. {18}

B. {27}

C. {729}

D. {11;1}

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình $\lg \left( {152 + {x^3}} \right) = \lg {\left( {x + 2} \right)^3}$
A. {4}

B. {−6}

C. {4;−6}

D. {4;6}

Tìm x, biết ${\log _3}x + {\log _4}\left( {x + 1} \right) = 2$
A. x = 1

B. x = 2

C. x = 3

D. x = 4

Số nghiệm của phương trình ${\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005$ là
A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}$
A. ${\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)}$

B. ${\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)}$

C. ${\left( {0;\frac{1}{2}} \right)}$

D. ${\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)}$

Tìm x, biết $\lg 2\left( {x + 1} \right) > 1$
A. x > 4

B. −1 < x < 4

C. x > 9

D. −1 < x < 9

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\frac{{3x}}{{x + 2}} > 1$
A. ${\left( { - \infty ;2} \right)}$

B. ${\left( {4; + \infty } \right)}$

C. ${\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)}$

D. ${\left( { - 2;4} \right)}$

So sánh p và q, biết:

$\begin{array}{l} a){\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - q}}\\ b){\left( {\frac{8}{3}} \right)^{ - p}} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q}\\ c)0,{25^p} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2q}}\\ d){\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p - 2q}} \end{array}$

Cho x < 0. Chứng minh rằng: 

$\sqrt {\frac{{ - 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{({2^x} - {2^{ - x}})}^2}} }}}  = \frac{{1 - {2^x}}}{{1 + {2^x}}}$

Tính 

$\begin{array}{*{20}{l}} {a)A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}}\\ {b)B = {{\log }_a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right)}\\ {c)C = {{\log }_5}{{\log }_5}\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{....\sqrt[5]{5}}}}}}}} \end{array}$

Chứng minh rằng ${\log _2}3 > {\log _3}4$

Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: 

${\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a.$

Chứng minh rằng hàm số $y = \ln \frac{1}{{1 + x}}$ thỏa hệ thức $xy\prime  + 1 = {e^y}$

Giả sử đồ thị (G) của hàm số $y = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}}}{{\ln 2}}$ cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y = log_ax. Trong hai khẳng định a > 1 và 0 < a < 1, khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?

a) M có tọa độ (0,5; -7)

b) M có tọa độ (0,5; 7)

c) M có tọa độ (3; 5,2)                 

d) M có tọa độ (3; -5,2).

Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức: $P(t) = 100.{(0,5)^{\frac{1}{{5750}}}}(\% )$

Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Giải phương trình:

$\begin{array}{*{20}{l}} {a){{32}^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{{25.128}^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}}\\ {b){5^{x - 1}} = {{10}^x}{{.2}^{ - x}}{{.5}^{x + 1}}}\\ {c){4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}}}\\ {d){3^{4x + 8}} - {{4.3}^{2x + 5}} + 28 = 2{{\log }_2}\sqrt 2 .} \end{array}$

Giải các phương trình:

$\begin{array}{*{20}{l}} {a){{\log }_3}(\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5) = 2}\\ {b){{\log }_2}({{4.3}^x} - 6) - {{\log }_2}({9^x} - 6) = 1}\\ {c)1 - \frac{1}{2}\log (2x - 1) = \frac{1}{2}\log (x - 9)}\\ {d)\frac{1}{6}{{\log }_2}(x - 2) - \frac{1}{3} = {{\log }_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x - 5} } \end{array}$

Giải phương trình: ${4^x} - {3^x} = 1$

Giải các hệ phương trình:

$\begin{array}{*{20}{l}} {a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_2}(x - y) = 5 - {{\log }_2}(x + y)}\\ {\frac{{\log x - \log 4}}{{\log y - \log 3}} =  - 1} \end{array}} \right.}\\ {b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{{\log }_2}x - {3^y} = 15}\\ {{3^y}.{{\log }_2}x = 2{{\log }_2}x + {3^{y + 1}}} \end{array}} \right.} \end{array}$

Giải các bất phương trình sau: 

$\begin{array}{*{20}{l}} {a)\frac{{1 - {{\log }_4}x}}{{1 + {{\log }_2}x}} < \frac{1}{2}}\\ {b){{\log }_{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}({6^{x + 1}} - {{36}^x}) \ge  - 2}\\ {c){{\log }_{\frac{1}{5}}}({x^2} - 6x + 18) + 2{{\log }_5}(x - 4) < 0} \end{array}$

Giá trị biểu thức ${\log _2}36 - {\log _2}144$ bằng

(A) – 4

(B) 4

(C) – 2

(D) 2.

Biết ${\log _6}\sqrt a  = 2$ thì ${\log _6}a$ bằng:

(A) 36

(B) 108

(C) 6

(D) 4.

Tập các số x thỏa mãn ${\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 \ge 0$ là:

(A) $\left( {4; + \infty } \right)$

(B) (4;6,5)

(C) $\left( { - \infty ;6,5} \right)$

(D) $\left[ {6,5; + \infty } \right)$

Tập các số x thỏa mãn ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}}$ là:

(A) $\left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right]$

(B) $\left[ { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)$

(C) $\left( { - \infty ;\frac{2}{5}} \right]$

(D) $\left[ {\frac{2}{5}; + \infty } \right)$

Giá trị biểu thức $3{\log _{0,1}}{10^{2,4}}$ bằng:

(A) 0,8

(B) 7,2

(C) – 7,2

(D) 72

Giá trị biểu thức $0,5{\log _2}25 + {\log _2}\left( {1,6} \right)$ bằng:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 5.

Giá trị biểu thức $\frac{{{{\log }_2}240}}{{{{\log }_{3,75}}2}} - \frac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_{60}}2}} + {\log _2}1$ bằng:

Tập các số x thỏa mãn ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2 - x}}$ là:

(A) $\left[ {3; + \infty } \right)$

(B) $\left( { - \infty ;1} \right]$

(C) $\left[ {1; + \infty } \right)$

(D) $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Đối với hàm số $f\left( x \right) = {e^{\cos 2x}}$, ta có:

(A) ${f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}}$

(B) ${f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) - {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}}$

(C) ${f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt {3e} }$

(D) ${f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - \sqrt {3e} }$

Đối với hàm số $y = \ln \frac{1}{{x + 1}}$, ta có:

(A) ${xy' + 1 = {e^y}}$

(B) ${xy' + 1 =  - {e^y}}$

(C) ${xy' - 1 = {e^y}}$

(D) ${xy' - 1 =  - {e^y}}$

Trên hình bên, đồ thị của ba hàm số: $y = {a^x};y = {b^x};y = {c^x}$

(a, b và c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c.

(A) a > b > c

(B) a > c > b

(C) b > a > c

(D) b  > c  > a

Trên hình bên, đồ thị của ba hàm số: 

$y = {\log _a}x,{\log _b}x,{\log _c}x$ 

(a,b và c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cũng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của logarit, hãy so sánh ba số a, b, c :

Phương trình ${\log _2}4x - {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3$ có bao nhiêu nghiệm?

(A) 1 nghiệm

(B) 2 nghiệm

(C) 3 nghiệm 

(D) 4 nghiệm.