Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương I Vectơ

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng vectơ AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a, Hai vecto cùng hướng thì cùng phương.

b, Hai vecto \(\overrightarrow b \) và k\(\overrightarrow b \) cùng phương.

c, Hai vecto \(\overrightarrow a \) và (-2)\(\overrightarrow a \) cùng hướng.

d) Hai vector ngược hướng với vector thứ ba khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) thì cùng phương.

Tứ giác ABCD là hình gì nếu \[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} ,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\]

Chứng minh rằng: \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \\
b)\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \\
c)\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} 
\end{array}\)

 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính

a) \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\)

b) \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right|\)

Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kỳ. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ} \)

Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho:

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \\
b)\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \\
c)\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \\
d)\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} 
\end{array}\)

Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a, Hai vecto đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

b, Vecto \(\overrightarrow a \) ≠ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với vecto \(\overrightarrow i \) nếu \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0.

c, Vecto \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vecto \(\overrightarrow j \)

Cho \(\overrightarrow a= (2; 1);\overrightarrow b =(3; - 4);\) \(\overrightarrow c =( - 7; 2)\)

a. Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c \)

b. Tìm tọa độ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c. Tìm các số \(k\) và \(h\) sao cho \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \)

Cho: \(\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j , \, \, \, \overrightarrow v  = \overrightarrow {mi}  - 4\overrightarrow j. \) Tìm \(m\) để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0.

b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B.

c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Dựa vào các điểm A, B, C, D, O, M, N đã cho, hãy:

a) Kể tên hai vec tơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) (các vec tơ kể ra này đều khác \(\overrightarrow 0 \))

b) Chỉ ra một vec tơ bằng vec tơ \(\overrightarrow {MO} \), một vec tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow {OB} \)

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Nối AF và CE, hai đường thẳng này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {NB} \).

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ \(\overrightarrow {EH} \) và \(\overrightarrow {FG} \) bằng vec tơ \(\overrightarrow {AD} \). Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.

Cho bốn điểm A,B,C,DA,B,C,D. Tìm các vec tơ:

a) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA} \)

b) \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA} \)

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) và \(M\) là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {ME} \)\( = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MF} \)

Cho tam giác \(ABC\). Tìm điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \).

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính \(\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {MN} \)

Cho hai điểm \(A\) và \(B\). Điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\). Chứng minh rằng \(OM = \dfrac{1}{2}AB\), trong đó \(O\) là trung điểm của \(AB\).

Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\). Hãy xác định điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow v \).

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là những điểm được xác định như sau: \(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích \(\overrightarrow {AE} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow v  = \overrightarrow {AB} \).

Cho các điểm A, B, C trên trục \(\left( {O;\overrightarrow e } \right)\) có tọa độ lần lượt là 5;−3;−4. Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \)

Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) sao cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow {OC}\) cùng hướng, \(\overrightarrow j\) và \(\overrightarrow {OB}\) cùng hướng.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi;

b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của tam giác ABC;

c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I′ của I qua tâm O. Chứng minh A, I′, D thẳng hàng;

d) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \).

Cho các điểm A'(-4;1), B'(2;4) và C'(2; - 2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.

a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC;

b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

Cho \(\overrightarrow a  = (2; - 2)\) và \(\overrightarrow b  = (1;4)\).

a. Tính tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \)

b. Hãy phân tích vec tơ \(\overrightarrow c  = (5;0)\) theo hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Cho \(\overrightarrow a  = (2;1),\overrightarrow b  = (3; - 4),\overrightarrow c  = ( - 7;2)\).

a. Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c \)

b. Tìm tọa độ vec tơ \(\overrightarrow x \) sao cho: \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c. Tìm các số \(k\) và \(h\) sao cho: \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \).

Cho tam giác đều \(ABC\) có \(O\) là trọng tâm và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D, E, F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \overrightarrow 0 \)

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}}\) và \(\overrightarrow {{F_2}}\) đều là 100 N và góc AMB = 60^ο.

    a) Đặt \(\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} \). Tính độ dài của đoạn ME

    b) Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}}\)

Cho tứ giác ABCD.Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.

Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \)

b) \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MQ} \)

Xét xem ba điểm sau có thẳng hàng không?

a) A(2; - 3), B(5;1) và C(8; 5);

b) M(1;2), N(3; 6) và P(4;5).

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Với điểm M tùy ý, hãy chứng minh:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \)

b) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right|\)

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của BI.

Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} \)

b) \(\overrightarrow {AK}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

Chọn khẳng định đúng:

    A. Hai vectơ có giá trị vuông góc thì cùng phương.

    B. Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song.

    C. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.

    D. Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba thì ngược hướng.

Nếu hai vectơ bằng nhau thì chúng

    A. có độ dài bằng nhau.         

    B. cùng phương.

    C. cùng điểm gốc.         

    D. cùng hướng.

Số các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là:

    A. 12          B. 21

    C. 27          D. 30

Số các vectơ có điểm đầu là một trong 5 điểm phân biệt cho trước và có điểm cuối là một trong bốn điểm phân biệt cho trước là:

    A. 20          B. 10

    C. 9            D. 14

Chọn khẳng định đúng trong các hệ thức sau:

A. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC} \)

B. \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NP} \)

C. \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CB} \)

D. \(\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow B \)

Cho các vectơ có cùng độ dài bằng 5 và cùng phương, hãy chọn khẳng định đúng.

    A. Các vectơ đó phải cùng nằm trên một đường thẳng.

    B. Cộng 10 vectơ đôi một ngược hướng ta được vectơ 0.

    C. Cộng 121 vectơ đó ta được vectơ 0

    D. Cộng 25 vectơ đó ta được vectơ có độ dài là 10.

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow a \) là đối vectơ đối của \(\overrightarrow b \) thì chúng

    A. cùng phương.          B. cùng độ dài.

    C. ngược hướng.          D. có chung điểm đầu

Hãy chọn khẳng định sai.

Vectơ tổng \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {QR} \) bằng:

A. \(\overrightarrow {MR} \)

B. \(\overrightarrow {MN} \)

C. \(\overrightarrow {PR} \)

D. \(\overrightarrow {MP} \)

Cho tam giác đều ABC. Hãy chọn đẳng thức đúng.

A. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} \)

B. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA} \)

D. \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CB} \)

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

D. \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CB} \)

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Hãy chọn đẳng thức đúng.

A. \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GI} \)

B. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GI} \)

C. \(\overrightarrow {IG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} \)

D. \(\overrightarrow {GA}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \)

Cho tam giác ABC, E là điểm trên cạnh BC sao cho \(BE = \frac{{BC}}{4}\). Hãy chọn đẳng thức đúng.

A. \(\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AC} \)

B. \(\overrightarrow {AE}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

C. \(\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \)

D. \(\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC, M là một điểm tùy ý. Điểm G là trong tâm tam giác ABC nếu:

A. \(GA = 2GI\)

B. \(\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {3MG} \)

D. \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {3MG} \)

Hãy chọn khẳng định sai

Cho hai điểm A, B. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB nếu:

A. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {MA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

B. \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {AM}  = 0,72\overrightarrow {AB} \)

D. \( - 3\overrightarrow {MA}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Hãy chọn khẳng định sai.

Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Điểm D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD khi và chỉ khi:

A. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

B. \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BD} \)

C. \(\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {CB} \)

D. \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) (O là trung điểm BC)

Hãy chọn khẳng định sai.

Cho \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {0;5} \right)\), \(C\left( {3;1} \right)\), \(D\left( {1; - 5} \right)\) và \(M\) là một điểm tùy ý. Tọa độ điểm \(G\) có tính chất \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG} \) là:

A. \(\left( {\dfrac{5}{6};0} \right)\)

B. \(\left( {0;\dfrac{3}{4}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{1}{4}; - \dfrac{5}{4}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\overrightarrow a  = \left( {1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {2;3} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 6; - 10} \right)\). Hãy chọn khẳng định đúng.

A. \(\overrightarrow a+\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow c\) cùng hướng.

B. \(\overrightarrow a+\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow a-\overrightarrow b\) cùng phương.

C. \(\overrightarrow a-\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow c\) cùng hướng.

D. \(\overrightarrow a+\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow c\) ngược hướng.

Cho ba điểm A(0; 3), B(1; 5), C(-3; -3). Chọn khẳng định đúng.

A. A, B, C không thẳng hàng.

B. A, B, C thẳng hàng.

C. Điểm B ở giữa A và C.

D. \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng

Cho tam giác ABC có A(1; -3), B(2; 5), C(0; 7). Trọng tâm của tam giác ABC là điểm có tọa độ:

    A. (0; 5)          B. \(\left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

    C. (3; 0)          D. (1; 3)

Cho hai điểm A(3; -5), B(1; 7). Chọn khẳng định đúng.

    A. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là (4; 2).

    B. Tọa độ của vectơ AB là (2; -12).

    C. Tọa độ của vectơ AB là (-2; 12).

    D. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là (2; -1).

Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 4} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 5;3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) là:

A. \(\overrightarrow u  = \left( {7; - 7} \right)\)

B. \(\overrightarrow u  = \left( {9; - 11} \right)\)

C. \(\overrightarrow u  = \left( {9; 5} \right)\)

D. \(\overrightarrow u  = \left( {- 1; 5} \right)\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC, trung điểm của các cạnh BC, CA và AB có tọa độ lần lượt là M(1; -1), N(3; 2), P(0; -5). Tọa độ của điểm A là:

    A. (2; -2)          B. (5; 1)

    C. \(\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)          D. \(\left( {2;\sqrt 2 } \right)\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho M(5; -3). Kẻ MM₁ vuông góc với Ox, MM₂ vuông góc với Oy. Khẳng định nào đúng?

A. \(\overline {O{M_1}}  =  - 5\)

B. \(\overline {O{M_2}}  = 3\)

C. \(\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ (-5;3)

D. \(\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ (5;-3)

Cho bốn điểm A(0; 1), B(-1; -2), C(1; 5), D(-1; -1)

Khẳng định nào đúng?

    A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

    B. Hai đường thẳng AB và CD song song.

    C. Ba điểm A, B, D thẳng hàng.

    D. Hai đường thẳng AD và BC song song.

Trong hệ trục Oxy, \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) là hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) . Tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) là:

    A. (1; -2)          B. (-3; 4)

    C. (2; 1)           D. \(\left( {0;\sqrt 3 } \right)\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ, biết tọa độ hai đỉnh là A(-3; 5), B(0; 4). Tọa độ của đỉnh C là:

 A. (-5; 1)          B. (3; 7)

 C. (3; -9)          D. \(\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác đều OAB có AB = 2, AB song song với Ox. Điểm A có hoành độ và tung độ dương. Ta có:

A. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0} \right)\)

B. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {-2;0} \right)\)

C. \(\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt 3 \)

D. \(\overrightarrow {OB}  = \left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Hãy chọn khẳng định đúng.

Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) tác dụng vào một vật có điểm đặt là O và đôi một tạo với nhau góc 120^ο. Với lực F, kí hiệu \(\left| {\overrightarrow F } \right|\) là cường độ của lực hay độ dài của vectơ lực.

    Vật sẽ chuyển động nếu:

A. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)

B. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)

C. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\)

D. \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\)

Hãy chọn khẳng định sai.

Cho tam giác ABCABC . Hãy xác định các vec tơ:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CB} ;
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CA} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} ;{\mkern 1mu} \\
\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AB} .
\end{array}
\end{array}\)

Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đủ để vec tơ \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) có giá là đường phân giác của góc AOB.

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng với điểm \(M\) bất kì, ta có

\(\overrightarrow {MO}  = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} ).\)

Cho tam giác ABC.

a) Tìm các điểm M và N sao cho

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(2\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

b) Với các điểm M, N ở câu a) , tìm các số p và q sao cho \(\overrightarrow {MN}  = p\overrightarrow {AB}  + q\overrightarrow {AC} \)

Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

a) Tìm số k sao cho \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {AB} \)

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: \(\overrightarrow {MI}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {MA}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {MB} \)

Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(- 1;3); B(4;2); C(3;5).

a) Chứng minh rằng ba điểm A. B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho \(\overrightarrow {AD}  =  - 3\overrightarrow {BC} \).

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho 0 là trọng tâm tam giác ABE.

Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(A) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \vec 0\)

(B) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AF} \)

(C) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE} \)

(D) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AD} \)

Cho hình thang \(ABCD\) với hai cạnh đáy là \(AB = 3a\) và \(CD = 6a\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} } \right|\) bằng bao nhiêu ?

(A) \(9a\)

(B) \(3a\)

(C) \(-3a\)

(D) \(0\).

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị \(\left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right|\) bằng bao nhiêu ?

(A) \(2a\sqrt 2 \)

(B) 2a

(C) a$$

(D) 0

Cho ba điểm bất kì A, B, C. Đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(A) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} \) 

(B) \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \)

(C) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BA} \)  

​(D) \(\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)     

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA} } \right|\) bằng bao nhiêu ?

(A) 2a

(B) a

(C) \(a\sqrt 3 \)

(D) \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có trọng tâm là G và G′. Đẳng thức nào dưới  đây là sai ?

(A) \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)                    

(B) \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} \)

(C) \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} \)                        

(D) \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)

Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, với \(AB = 2a,AC = 6a\). Đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(A) \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \)                                   

(B) \(\overrightarrow {BC}  =  - 2\overrightarrow {AB} \)

(C) \(\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {AB} \)                                               

(D) \(\overrightarrow {BC}  =  - 2\overrightarrow {BA} \)

Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Nếu \(\overrightarrow {AB}  =  - 3\overrightarrow {AC} \) thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(A) \(\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {AC} \);

(B) \(\overrightarrow {BC}  =  - 4\overrightarrow {AC} \);

(C) \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {AC} \);

(D) \(\overrightarrow {BC}  =  - 2\overrightarrow {AC} \);

Điều kiện nào dưới đây là cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB?

(A) OA = OB                                                

(B) \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OB} \)

(C) \(\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {BO} \)                                           

(D) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \vec 0.\)

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(A) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{2}\)                              

(B) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{3}\)

(C) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{{3\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)}}{2}\)                                 

(D) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{{2\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)}}{3}\)

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

(A) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0\)

(B) \( - \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0\)

(C) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \vec 0\)     

(D) \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(−1;4), B(3;−5). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là cặp số nào ?

(A) (2;−1)$$

(B) (−4;9)

(C) (4;−9)$$

(D) (4;9)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(0\,;\,5),\,B(2\,;\, - 7)\). Khi đó tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là cặp số nào ?

(A) \((2\,;\, - 2)\)

(B) \(( - 2\,;\,12)\);

(C) \(( - 1\,;\,6)\)

(D) \((1\,;\, - 1)\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M(8;\, - 1),\,N(3;\,2)\). Nếu \(P\) là điểm đối xứng với điểm \(M\) qua điểm \(N\) thì tọa độ của \(P\) là cặp số nào ?

(A) \(( - 2\,;\,5)\)

(B) \(\left( {{{11} \over 2};\,{1 \over 2}} \right)\)

(C) \((13\,\,;\, - 3)\)

(D) \( (11\,\,;\, - 1)\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(5;−2), B(0;3), C(−5;−1). Khi đó trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là cặp số nào ?

(A) (1;−1)

(B) (0;0)

(C) (0;11)

(D) (10;0)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết rằng A(−1;4), B(2;5), G(0;7). Hỏi tọa đô đỉnh C là cặp số nào ?

(A) (2;12)$$

(B) (−1;12)

(C) (3;1)

(D) (1;12)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3;1), B(2;2), C(1;6), D(1;−6). Hỏi điểm G(2;−1) là trọng tâm của tam giác nào sau đây ?

(A) Tam giác ABC$$

(B) Tam giác ABD

(C) Tam giác ACD

(D) Tam giác BCD