Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).

Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)

Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m -1 có đồ thị là (C_m), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).

- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:

\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)

b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết rằng f’’(x₀) = - 6.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Cho hàm số f(x)= x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định m để f’’(x) > 6x.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ – 6x² + 3 = m.

Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?

c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.

b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.

Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:

(A) 1;

(B) 0;

(C) 3;

(D) 2.

Số điểm cực đại của hàm số y = x⁴ + 100 là:

(A) 0;

(B) 1;

(C) 2; 

(D) 3.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:

(A) 1;

(B) 2;

(C) 3;

(D) 0;

Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:

(A) \(\mathbb{R}\)

(B) \((-\infty ;3)\)

(C) \((-3;+\infty)\)

(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:

(A) Song song với đường thẳng x = 1;

(B) Song song với trục hoành;

(C) Có hệ số góc dương;

(D) Có hệ số góc bằng -1.

Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?

Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)

Cho hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Cho hàm số: \(y =  - {x^4} - {x^2} + 6\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: \(y = \frac{1}{6}x - 1\)

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + {m^3} - {m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Cho hàm số \(y = \frac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C).

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x - 8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.

Hàm số \(y =  - \frac{{{x^4}}}{2} + 1\) đồng biến trên khoảng:

A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)           

B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - 3;4} \right)\)             

D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

A. \(m =  - 1\)               

B. \(m > 1\) 

C. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)       

D. \(m \le  - \frac{5}{2}\)

Hoành độ các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\) là:

A. x = −1               

B. x = 5

C. x = 0                   

D. x = 1, x = 2

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{4}{{{x^2} + 2x + 3}}\) là:

A. 3                                   

B. 2

C. −5                                 

D. 10

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\)

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\)

Tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\) và y = x+1 là:

A. (2;2)               

B. (2;−3)

C. (−1;0)             

D. (3;1)

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)\) với trục hoành là:

A. 2                                       

B. 3

C. 0                                       

D. 1

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) có cực đại và cực tiểu.

A. m = 3                             

B. m > 0

C. m ≠ 0                             

D. m < 0

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \(2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m = \sqrt[3]{5}\)             

B. \(m < \sqrt[3]{5}\)

C. \(m > \sqrt[3]{5}\)             

D. \(m \in R\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = {x^3} - 5\) có hai cực trị.

B. Hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + 3{x^2} - 5\) luôn đồng biến.

C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{5 - x}}\) là y = − 3.

D. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}\) có hai tiệm cận đứng

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.

B. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.

C. Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.

D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x,\,\,\,x \ge 0}\\
{\sin \frac{x}{3},\,\,x < 0}
\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + m{x^2} + x - 5 = 0\) có nghiệm dương.

A. \(m = 5\)                                   

B. \(m \in R\)

C. \(m =  - 3\)                               

D. \(m < 0\)

Xác định giá trị của tham số m để phương trình \(\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m < \sqrt[3]{{ - 30}}\)                       

B. \(0 < m < 1\)

C. \(m < 0\)                               

D. \(m > \sqrt[3]{{ - 30}}\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}
a)\tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
b)\tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)y = \sqrt {3x + 1} \\
b)y = \sqrt {4x - {x^2}} \\
c)y = x + \sqrt x \\
d)y = x - \sqrt x 
\end{array}\)

Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn: Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác: Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)  (p là nửa chu vi của tam giác.)

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + {{17} \over 3}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Cho hàm số f(x) = x³ + px + q

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x³ + px + q = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p³ + 27q² < 0

Cho hàm số: f(x) = x³ − 3x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

c) Gọi (d_m) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d_m) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Cho hàm số: \(y = {x^4} - (m + 1){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Cho hàm số f(x) = x⁴ − x²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y=|f(x)|

Cho hàm số: \(y = \frac{{x - 4m}}{{2(mx - 1)}}\).(Hm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

b) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm \frac{1}{2}\), các đường cong (Hm) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (H_m) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x² − x + 1 và đồ thị (H) của hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\)

b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\)

(A) Đồng biến trên khoảng (−2;3)

(B) Nghịch biến trên khoảng (−2;3)

(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)

(D) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

Hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5} - 15{x^4} + 10{x^3} - 22\)

(A) Nghịch biến trên R;

(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);

(C) Đồng biến trên khoảng R;

(D) Nghịch biến trên khoảng (0;1).

Hàm số \(y = \sin x - x\)

(A) Đồng biến trên R.

(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

(D) Nghịch biến trên R.

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 11\)

(A) Nhận điểm x = -1 làm điểm cực tiểu;

(B) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại;

(C) Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại;

(D) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} - 5\)

(A) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

(B) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại

(C) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại

(D) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.

Số điểm cực trị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) là 

(A) 0              

(B) 1         

(C) 3             

(D) 2

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\) là 

(A) 0 

(B) 2

(C) 1           

(D) 3

Hàm số f có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\).

Số điểm cực trị của hàm số là:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) 3

Hàm số \(y = x - \sin 2x + 3\)

(A) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.

(B) Nhận điểm \(x =  \frac{\pi }{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ làm điểm cực đại.

(C) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại.

(D) Nhận điểm \(x =  - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 3\sqrt {1 - x} \) là: 

A. - 3

B. 1

C. - 1

D. 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x - 4\cos x\) là:

(A) 3

(B) - 5

(C) - 4

(D) - 3.

Giá trị lớn nhất của hàm số 

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) 

trên đoạn [−1;2] là:

(A) 6

(B) 10

(C) 15

(D) 11.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \) là:

(A) 2

(B) \(\sqrt 2 \)

(C) 0

(D) 3.

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}}\)

(A) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của (C).

(B) Đường thẳng x = 2x - 1 là tiệm cận đứng của (C).

(C) Đường thẳng x = x + 1 là tiệm cận đứng của (C).

(D) Đường thẳng x = x - 2 là tiệm cận đứng của (C).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{3 + 5x - 2{x^2}}}\)

(A) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

(B) Đường thẳng \(x =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

(C) Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

(D) Đường thẳng x = -x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{ - 5{x^2} - 2x + 3}}\)

(A) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của (C).

(B) Đường thẳng y = x - 1 là tiệm cận xiên của (C).

(C) Đường thẳng \(y =  - \frac{1}{5}\) là tiệm cận ngang của (C).

(D) Đường thẳng \(y =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của (C).

Đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{1}{{x - 1}}\)

(A) cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm;

(B) cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm;

(C) Tiếp xúc với đường thẳng y = 0.

(D) Không cắt đường thẳng y = - 2.

Xét phương trình \({x^3} + 3{x^2} = m\)

(A) Với m = 5, phương trình đã có ba nghiệm;

(B) Với m = -1, phương trình có hai nghiệm.

(C) Với m = 4, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt;

(D) Với m = 2, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

(A) Nhận điểm \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

(B) Nhận điểm \(\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\) làm tâm đối xứng.

(C) Không có tâm đối xứng.

(D) Nhận điểm \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

Số giao điểm của hai đường cong \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\) và \(y = {x^2} - x + 1\) là:

(A) 0

(B) 1

(C) 3

(D) 2.

Các đồ thị của hai hàm số \(y = 3 - \frac{1}{x}\) và \(y = 4{x^2}\) tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ là:

(A) x = -1

(B) x = 1

(C) x = 2

(D) \(x = \frac{1}{2}\)