ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC

Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}
a)\tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
b)\tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Hàm số f(x) = tanx − x liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\forall x\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}
f(x) > f(0),\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm 

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - 1}}\\
 = {\tan ^2}x - {x^2} > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

(suy ra từ câu a)

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và khi đó 

\(\begin{array}{l}
f(x) = f(0) = 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
 \Rightarrow \tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
  • Nguyễn Trung Thành

    Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy tính diện tích tam giác ABC biết rằng hai điểm H(5;5) và I(5;4) lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và x+y-8=0 là phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  •  
     
    Nguyễn Thị Trang

    Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Tìm tọa độ đỉnh B, điểm M biết N(0;-2), đường thẳng AM có phương trình x+2y-2=0 và cạnh hình vuông bằng 4

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Thu Hang

    Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A, B thuộc đường thẳng \(\Delta:4x+3y-12=0\) và điểm K(6;6) là tâm đường tròn bằng tiếp góc 0. Gọi C là điểm nằm trên \(\Delta\) sao cho AC=AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A. Biết điểm C có hoành độ bằng \(\frac{24}{5}\). Tìm tọa độ các đỉnh A, B

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Sam sung

    Tìm m để hàm số sau xác định với mọi \(x\in R\)

    \(y=\ln\left(\frac{x^2-mx+1}{x^2-x+1}-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{x^2-mx+1}{x^2-x+1}}\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

 

YOMEDIA
1=>1