Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Cho hàm số f(x) = x3 + px + q
a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.
b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: x3 + px + q = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 4p3 + 27q2 < 0
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + p\)
\(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + p = 0(1)\)
Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔p < 0
Khi đó hai nghiệm của (1) là:
\(x = - \sqrt { - \frac{p}{3}} ; x = \sqrt { - \frac{p}{3}} \)
Bảng biến thiên
\(\begin{array}{l}
M = {\sqrt { - \left( { - \frac{p}{3}} \right)} ^3} - p\sqrt { - \frac{p}{3}} + q\\
= q - \frac{2}{3}p\sqrt { - \frac{p}{3}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
m = {\sqrt { - \left( { - \frac{p}{3}} \right)} ^3} + p\sqrt { - \frac{p}{3}} + q\\
= q + \frac{2}{3}p\sqrt { - \frac{p}{3}}
\end{array}\)
b) Nếu Mm < 0 và m < 0, khi đó, phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm α, β, γ với
\(\alpha < - \sqrt { - \frac{p}{3}} ; - \sqrt { - \frac{p}{3}} < \beta < \sqrt { - \frac{p}{3}} \)
Và \(\gamma > \sqrt { - \frac{p}{3}} \)
c) Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.
+ Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất (Lớn hơn \(\sqrt { - \frac{p}{3}} \))
+ Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( Nhỏ hơn \(\sqrt { - \frac{p}{3}} \))
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{p < 0}\\
{Mm = {q^2} - \frac{4}{9}{p^2}\left( { - \frac{p}{3}} \right) < 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow 4{p^3} + 27{q^2} < 0
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Dùng đồ thị (C) tìm m để phương trình \(x^4-2x^2+m=0\) có 4 nghiệm phân biệt
bởi Aser Aser
08/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-3\) có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số.
2) Dùng đồ thị (C) tìm m để phương trình \(x^4-2x^2+m=0\) có 4 nghiệm phân biệtTheo dõi (0) 1 Trả lời -
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường \(\Delta :y=-x+1\)
bởi can tu
07/02/2017
Help me!
Cho hàm số \(y=\frac{3-2x}{x-1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường \(\Delta :y=-x+1\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình: \((2x+4)\sqrt[3]{2x+3}-\sqrt{9x^3+60x^3+133x+98}=x^2-2x-5\)
bởi Đan Nguyên
07/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Giải phương trình: \((2x+4)\sqrt[3]{2x+3}-\sqrt{9x^3+60x^3+133x+98}=x^2-2x-5\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
bởi Nguyễn Thị An
07/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.Theo dõi (0) 1 Trả lời