Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Tập xác định: D = R∖{0}
\(\begin{array}{l}
y\prime = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\\
y\prime = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng: \(( - \infty ; - 1);(1; + \infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−1; 0); (0; 1)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại: x = −1; y(−1) = −2
Hàm số đạt cực tiểu tại: x = 1; y(1) = 2
+) Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \)
Tiệm cận đứng: x = 0
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim}\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \\
\mathop {\lim}\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim}\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0
\end{array}\)
Tiệm cận xiên: y = x
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là:
\(y = \left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)(x - {x_0}) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}\)
Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:
\({y_A} = \left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{2}{{{x_0}}}\)
Vậy \(A\left( {0;\frac{2}{{{x_0}}}} \right)\)
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\(\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)(x - {x_0}) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = x\\
\Leftrightarrow - \frac{x}{{{x_0}}} + \frac{2}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_0}
\end{array}\)
xB = 2x0. Vậy B(2x0; 2x0)
Ta có: \({x_M} = {x_0} = \frac{{0 + 2{x_0}}}{2} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\)
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Diện tích tam giác OAB là:
\(\begin{array}{l}
S = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right|\\
= \frac{1}{2}\left| {\frac{2}{{{x_0}}}} \right|.\left| {2{x_0}} \right| = 2,\forall {x_0} \ne 0
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+8x-8y=3x^2-3y^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (5x^2-5y+10)\sqrt{y+7}+(2y+6)\sqrt{x+2}=x^3+13y^2-6x+32 \end{matrix}\right.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành
bởi Phan Quân
06/02/2017
Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{2x+1} \ \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng \(d:y=2mx+m+1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giải phương trình: \(x\sqrt{x-1}=(2x-3)^2(2x-2)+x-2\)
bởi hà trang
07/02/2017
Giải phương trình: \(x\sqrt{x-1}=(2x-3)^2(2x-2)+x-2\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(y=\frac{2x+3}{x+1}\) có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng qua H(3,3) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho tam giác MAN vuông tại A(2,1)
Theo dõi (0) 1 Trả lời