YOMEDIA

Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Giải bài 11 tr 46 sách GK Toán GT lớp 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

ADMICRO

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

 
 

Câu a:

\(y=\frac{x+3}{x+1}\)

1) Tập xác định: R\{-1}.

2) Sự biến thiên: 

\(y'=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}<0 \ \ \forall x\neq -1\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 1\) nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  - \infty ,\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  + \infty \) 

Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,

Bảng biến thiên:

BBT bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điểm (-1;1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt Ox tại điểm (-3;0) cắt Oy tại điểm (0;3).

Đồ thị bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu b: 

Số giao điểm của đường thẳng y = 2x + m và (C) là số nghiệm của phương trình sau:

\(\frac{x+3}{x+1}=2x+m (*)\)  (Điều kiện: \(x\neq -1\))

Ta có: \((*)\Rightarrow x+3=(2x+m)(x+1)\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+2)x+m=x+3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+1)x+m-3=0 (**)\)

\(\Delta =(m+1)^2-8(m-3)\)

\(=m^2-6m+25>0 \ \ \forall m\).

Mặt khác không tồn tại m để x = -1 là nghiệm của (**), vì thế (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi giá trị của m thì (C) luôn cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điểm phân biệt M, N.

Câu c:

Hoành độ M, N là nghiệm của (**)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - m - 1 + \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}\\
{x_N} = \frac{{ - m - 1 - \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow x_N-x_M=-\frac{\sqrt{m^2-6m+25}}{2}\)

và \(y_N-y_M=2x_N+m(2x_M+m)\)

\(=2(x_N-x_M)=-\sqrt{m^2-6m+25}\)

Do đó: 

\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)+(y_N-y_M)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2-6m+25)+(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m-3)^2+16} \geq \sqrt{\frac{5}{4}.16}\)

\(\Leftrightarrow MN \geq \sqrt{20}\)

Dấu "bằng" xảy ra khi m = 3.

Vậy độ dài của MN nhỏ nhất là \(\sqrt{20}\) đạt được khi m = 3.

Câu d:

Vì \(S\in (C)\) nên \(S\left ( x_0;\frac{x_0+3}{x_0+1} \right )\), do đó tiếp tuyến tai S của (C) có phương trình:

\(y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\)

Tiệm cận đứng là x = - 1 ⇒ toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ x=-1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ \\ y=\frac{x_0+5}{x_0+1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow P \left ( -1; \frac{x_0+5}{x_0+1} \right )\)

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 ⇒ Toạ độ của Q là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ y=1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2x_0+1\\ \\ y= 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow Q(2x_0+1; 1)\)

Ta có toạ độ trung điểm của PQ là:

\(\left\{\begin{matrix} x=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ \\ y=\frac{y_P+y_Q}{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+2x_0+1}{2}\\ \\ y=\frac{x_0+1}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x_0 \ \ \ \ \\ \\ y=\frac{x_0+3}{x_0+1} \end{matrix}\right.\)

Vậy S là trung điểm của PQ.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA