YOMEDIA

Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Giải bài 11 tr 46 sách GK Toán GT lớp 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

Câu a:

\(y=\frac{x+3}{x+1}\)

1) Tập xác định: R\{-1}.

2) Sự biến thiên: 

\(y'=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}<0 \ \ \forall x\neq -1\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 1\) nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  - \infty ,\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  + \infty \) 

Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,

Bảng biến thiên:

BBT bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điểm (-1;1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt Ox tại điểm (-3;0) cắt Oy tại điểm (0;3).

Đồ thị bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu b: 

Số giao điểm của đường thẳng y = 2x + m và (C) là số nghiệm của phương trình sau:

\(\frac{x+3}{x+1}=2x+m (*)\)  (Điều kiện: \(x\neq -1\))

Ta có: \((*)\Rightarrow x+3=(2x+m)(x+1)\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+2)x+m=x+3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+1)x+m-3=0 (**)\)

\(\Delta =(m+1)^2-8(m-3)\)

\(=m^2-6m+25>0 \ \ \forall m\).

Mặt khác không tồn tại m để x = -1 là nghiệm của (**), vì thế (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi giá trị của m thì (C) luôn cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điểm phân biệt M, N.

Câu c:

Hoành độ M, N là nghiệm của (**)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - m - 1 + \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}\\
{x_N} = \frac{{ - m - 1 - \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow x_N-x_M=-\frac{\sqrt{m^2-6m+25}}{2}\)

và \(y_N-y_M=2x_N+m(2x_M+m)\)

\(=2(x_N-x_M)=-\sqrt{m^2-6m+25}\)

Do đó: 

\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)+(y_N-y_M)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2-6m+25)+(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m-3)^2+16} \geq \sqrt{\frac{5}{4}.16}\)

\(\Leftrightarrow MN \geq \sqrt{20}\)

Dấu "bằng" xảy ra khi m = 3.

Vậy độ dài của MN nhỏ nhất là \(\sqrt{20}\) đạt được khi m = 3.

Câu d:

Vì \(S\in (C)\) nên \(S\left ( x_0;\frac{x_0+3}{x_0+1} \right )\), do đó tiếp tuyến tai S của (C) có phương trình:

\(y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\)

Tiệm cận đứng là x = - 1 ⇒ toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ x=-1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ \\ y=\frac{x_0+5}{x_0+1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow P \left ( -1; \frac{x_0+5}{x_0+1} \right )\)

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 ⇒ Toạ độ của Q là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ y=1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2x_0+1\\ \\ y= 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow Q(2x_0+1; 1)\)

Ta có toạ độ trung điểm của PQ là:

\(\left\{\begin{matrix} x=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ \\ y=\frac{y_P+y_Q}{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+2x_0+1}{2}\\ \\ y=\frac{x_0+1}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x_0 \ \ \ \ \\ \\ y=\frac{x_0+3}{x_0+1} \end{matrix}\right.\)

Vậy S là trung điểm của PQ.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 
  • thanh hằng

    4 + 8 + 12 +....... + 4n = 180

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Lan Ha

    cho các số nguyên dương a,b .biết hàm số \(y=\dfrac{1}{3}\left(a-4\right)x^3+2bx^2+x+5\) đồng biến trên R . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= 2a+3b là ?

    A.16 B.19 C.13 D.26

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • thu trang

    ai cho em hỏi cách tìm GTNN và GTLN với hàm lượng giác được không ạ?huhu em không biết làm vì giải ra nó hay ra nghiệm x=.......+k2\(\pi\) nên em không biết thay ,em xin cảm ơn m.ng trước

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Thuy Kim

    Một tạp chí được bán 25 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức C(x)=0,0001x2−0,2x+11000C(x)=0,0001x2−0,2x+11000, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 nghìn đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cáo. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có được khi bán tạp chí.

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

 

YOMEDIA