Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

71 BT SGK

575 FAQ

Giải bài 1.77 tr 40 SBT Toán 12

Cho hàm số $y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x$.

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với $a = \frac{3}{2}$.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: $y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|$

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có: $y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2$.

+) Với $a = 1,y' = 2x + 1$ đổi dấu khi x đi qua $ - \frac{1}{2}$. Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với $$a \ne 1$$ thì với mọi x mà tại đó:

$\begin{array}{l}
y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 > 0\\
\Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
a \ge 2\\
a \le \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 2
\end{array}$

(khi a = 2 thì y′ = 0 chỉ tại x = −2)

Vậy với $a \ge 2$ hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

$\begin{array}{l}
y = 0 \Leftrightarrow x\left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0\\
\Leftrightarrow x\left[ {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

$\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a - 1 \ne 0}\\
{\Delta > 0}\\
{P \ne 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a - 1 \ne 0}\\
{9{a^2} - 4\left( {a - 1} \right)\left( {9a - 6} \right) > 0}\\
{9a - 6 \ne 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \ne 1}\\
{\frac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \frac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}}\\
{a \ne \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

Vậy $a \in \left( {\frac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\frac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\frac{2}{3}} \right\}$

Khi $a = \frac{3}{2}$ thì $y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
y' = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + \frac{5}{2};\\
y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 1}\\
{x = - 5}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}$ ta suy ra ngay đồ thị hàm số $y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|$ như sau: