Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12

a) Ta có: \(y' =  - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6\)

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y′ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+) \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{m =  - 5}
\end{array}} \right.\)

- Với m = 0 thì y′ = 6 > 0 nên hàm số luôn đồng biến (thỏa mãn)

- Với m = −5 thì y′ = −60x+6 đổi dấu khi x đi qua \(\frac{1}{{10}}\) nên hàm số không đơn điệu trên R (loại).

+) Với \({m^2} + 5m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \ne  - 5
\end{array} \right.\)

Khi đó, y′ không đổi dấu nếu:

\({\rm{\Delta '}} = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0\)

\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0\)

\(\Leftrightarrow  - \frac{5}{3} \le m \le 0\)

Với điều kiện đó, ta có \( - 3({m^2} + 5m) > 0\) nên y′ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện \( - \frac{5}{3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì:

\(y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} - 3m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - 2
\end{array} \right.\)

Mặt khác, \(y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với m = 1 thì \(y'' =  - 36x + 12\). Khi đó, \(y''\left( 1 \right) =  - 24 < 0\), hàm số đạt cực đại tại x = 1.

+) Với m = −2 thì \(y'' = 36x - 24\). Khi đó, \(y''\left( 1 \right) = 12 > 0\), hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

-- Mod Toán 12 HỌC247