Giải bài tập SGK Cuối năm Toán 12 Cơ bản & Nâng cao

Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng.

Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng.

Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm x₀.

Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của logarit.

Phát biểu các định lí về quy tắc logarit, công thức đổi cơ số của logarit.

Nêu tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit, mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số.

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.

Nhắc lại các định nghĩa số phức, số phức liên hợp, môđun của số phức. Biểu diễn hình học của số phức.

Cho hàm số f(x) = ax² - 2(a+1)x + a + 2  (a \(\neq\) 0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

 Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3+(a-1)x^2+(a+3)x-4\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1, x = 1.

Cho hàm số y = ax³ + ax² + bx + 1

a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2; -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 

\(s(t)=\frac{1}{4}t^4-t^3+\frac{t^2}{2}-3t\)

trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tính v(2), a(2) biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho.

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.

Cho hàm số y = x⁴ + ax² + b

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bẳng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a=-\frac{1}{2}\), b= 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.​

Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+m-1}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a\neq -1.\)

Cho hàm số \(y=\frac{2}{2-x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số y = x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1 trên đoạn \(\left [ -2;\frac{5}{2} \right ]\).

b) f(x) = x² lnx trên đoạn [1; e].

c) f(x) = x e-x trên nữa khoảng \([0;+\infty )\).

d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn \(\left [ 0; \frac{3}{2}\pi \right ]\).

Giải các phương trình sau:

a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)

b) \((3^x+2^x)(3^x+3.2^x)=8.6^x\)

c) \(log_{\sqrt{3}}(x-2)log_5x = 2.log_3(x-2)\)

d) \(log^2_2x - 5 log_2x + 6 = 0\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{2^x}{3^x-2^x}\leq 2\)

b) \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{log_2(x^2-1)}>1\)

c) \(log^2x + 3logx \geq 4\)

d) \(\frac{1-log_4x}{1+log_2x}\leq \frac{1}{4}\)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

a) \(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnx dx\)

b) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)

c) \(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinxdx\)

d) \(\int_{-1}^{0 }(2x+3)e^{-x}dx\)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{24}}tan \left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )dx\) (đặt \(u=cos\left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )\))

b) \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\frac{3}{5}tant\))

c) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)

d) \(\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+tanx}\))

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

a) y = x² + 1, x = -1, x = 2 và trục hoành

b) y = ln x, \(x=\frac{1}{e}\) , x = e và trục hoành

Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x² và y=x³ xung quanh trục Ox.

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (3 + 2i)z - (4 + 7i) = 2 - 5i

b) (7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z

c) z² - 2z + 13 = 0

d) z⁴ - z² - 6 = 0

Trên mặt phẳng toạ độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn bất đẳng thức:

a) |z| < 2

b) \(|z-i|\leq1\)

c) \(|z-1-i|\leq 1\)

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e^x – x – 1 đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\)$$

b) Từ đó suy ra: e^x > x + 1 với mọi x > 0.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x) = 2x³ – 3x² – 12x – 10

b) Chứng minh rằng phương trình 2x³ – 3x² – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm thực duy nhất của hàm số là \(\alpha\)

Chứng ming rằng \(3,5 < \alpha  < 3,6\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lầm in là 50 nghìn đồng. Chi phí để n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng.

Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}\) trên đoạn [0, 1]

a) Cho \(P(x) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\) và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1

Hãy tính P(a) + P(b)

b) Hãy so sánh \(A = \sqrt[3]{{18}}\) và \(B = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{{{\log }_6}2 - \frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 6 }}5}}\)

a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab thì          

\({\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}({\log _7}a + {\log _7}b)\)

b) Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho \({\log _a}b = \sqrt 3 \)

Hãy tính \({\log _{a\sqrt b }}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt {{b^3}} }}\)

a) Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e^2tanx và y = log₂(sinx)

b) Chứng minh rằng hàm số y = e^4x + 2e^-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 2x; \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) và \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ,

Hãy nêu nhận xét về trị trí tương đối của ba đồ thị hàm số đó.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log₃x.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log₃x và đồ thị của hàm số y = log₃(x + 2)     

Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) \(y = \log \left[ {1 - \log \left( {{x^2} - 5x + 16} \right)} \right]\)

b) \(y = \sqrt {{{\log }_{0,5}}( - {x^2} + x + 6)}  + \frac{1}{{{x^2} + 2x}}\)

Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau

a) y = x³ (1 + x⁴)³

b) y = cosx sin2x

c) \(y = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\)

Tìm hàm số f, biết rằng \(f'(x) = 8{\sin ^2}(x + \frac{\pi }{{12}})\) và f(0) = 8

Tính các tính phân sau

a) \(\int \limits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(\int \limits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}\)

c) \(\int \limits_0^1 {x^2}{e^x}dx\)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) y + x² = 0 và y + 3x² = 2

b) y² – 4x = 4 và 4x – y = 16

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x² + 1 và đường thẳng y = 2.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Cho các số phức z₁ = 1 + i; z₂ = 1 – 2i

Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức:

\(z_1^2;{z_1}{z_2};2{z_1} - {z_2}:{z_1}\overline {{z_2}} ;\frac{{{z_2}}}{{\overline {{z_1}} }}\)

Tính 

a) \({{{(\sqrt 3  + i)}^2} - {{(\sqrt 3  - i)}^2}}\)

b) \({{{(\sqrt 3  + i)}^2} + {{(\sqrt 3  - i)}^2}}\)

c) \({{{(\sqrt 3  + i)}^3} - {{(\sqrt 3  - i)}^3}}\)

d) \({\frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^2}}}{{{{(\sqrt 3  - i)}^2}}}}\)

a) Xác định phần thực của số phức \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

b) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \((1 + i\sqrt 3 )z + 2\)

Trong đó |z – 1| ≤ 2

Tìm các căn bậc hai của các số phức

- 8 + 6i; 3 + 4i; \(1 - 2\sqrt 2 i\)

Giải các phương trình sau trên C

a) z² – 3z + 3 + i = 0

b) \({z^2} - (cos\varphi  + i\sin \varphi )z + i\sin \varphi \cos \varphi  = 0\)

trong đó \(\varphi\) là số thực cho trước

Tính:

\({(\frac{{4i}}{{1 + i\sqrt 3 }})^6};\frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^5}}}{{{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\)

Hàm số \(f(x) = {e^{\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\)

(A) Đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ,1)\) và \((3, + \infty )\)$$

(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ,1)\)$$ và \((3, + \infty )\)$$

(C) Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ,1)\)$$ và nghịch biến trên khoảng \((3, + \infty )\)

(D) Nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ,1)\) và đồng biến trên khoảng \((3, + \infty )\)$$

Hàm số f(x) = sin²x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

(A) \( - \frac{1}{2}\)

(B) 0

(C) -1

(D) \( - \frac{1}{3}\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \). Khi đó

(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(B) Đường thẳng y=x+12$y=x+\frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))

Đồ thị của hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với

(A) Parabol y = 2x² -1

(B) Parabol y = x²

(C) Parabol y = - x² + 2x

(D) Đường thẳng y = 2x + 1

Cho hai số dương a và b. Đặt 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{X = \ln \frac{{a + b}}{2}}\\
{Y = \frac{{\ln a + \ln b}}{2}}
\end{array}} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Cho hai số không âm a và b.

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
X = {e^{\frac{{a + b}}{2}}}\\
Y = \frac{{{e^a} + {e^b}}}{2}
\end{array} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log₂x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log₂2(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:

A. \({\vec v = (3,1)}\)

B. \({\vec v = (3,-1)}\)

C. \({\vec v = (-3,1)}\)

D. \({\vec v = (-3,-1)}\)

Cho hàm số f(x) = log₅(x² + 1). Khi đó:

(A) \(f'(1) = \frac{1}{{2\ln 5}}\)

(B) \(f'(1) = \frac{1}{{\ln 5}}\)

(C) \(f'(1) = \frac{3}{{2\ln 5}}\)

(D) \(f'(1) = \frac{2}{{\ln 5}}\)

Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó 

(A) a > 1 và b > 1

(B) a > 1 và 0 < b < 1

(C) 0 < a < 1 và b > 1

(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khi đó

(A) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)

(B) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)

(C) \(\int \nolimits^ f(x)dx = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)

(D) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)

Đẳng thức \(\int \limits_0^a \cos (x + {a^2})dx = \sin a\) xảy ra nếu:

(A) \(a=\pi \)

(B) \({a = \sqrt \pi  }\)

(C) \({a = \sqrt {3\pi } }\)

(D) \({a = \sqrt {2\pi } }\)

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:

\(\int \limits_1^e \ln \frac{k}{x}dx < e - 2\)

Khi đó:

(A) S = {1}

(B) S = {2}

(C) S = {1, 2}

(D) S = Ø

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

\(\alpha  = {z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\beta  = z.\bar z + i\left( {z - \bar z} \right).\)

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\bar z - 1}} - {z^2} + {{(\bar z)}^2}}\\
{\beta  = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {{(\bar z)}^2} + \bar z}
\end{array}} \right.\)

Khi đó:

(A) α là số thực, β là số thực

(B) α là số thực, β là số ảo

(C) α là số ảo, β là số thực

(D) α là số ảo, β là số ảo

Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdn của số phức (1 – i)²z bằng:

(A) 4r

(B) 2r

(C) \(r\sqrt 2 \)

(D) r

a) Xác định a, b, c, d để đồ thị của các hàm số: y = x² + ax + b và y = cx + d cùng đi qua hai điểm M(1; 1) và B(3; 3).

b) Vẽ đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị a, b, c và d tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trên.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên quay quanh trục hoành.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)  của hàm số: \(y = {{ - x + 2} \over {x + 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết nó vuông góc với đường thẳng  \(y = {1 \over 4}x - 42\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : \(y = {{4x - 5} \over {x - 1}}\)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiếp tuyến của (C) tại A(2; 3) và đường thẳng x = 4.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {{5x + 3} \over { - x + 2}}\);

b) \(y = {{2{x^2} + 8x - 9} \over {3{x^2} + x - 4}}\).

Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + 15x + 1\)

b) \(y = x + \ln (x + 1)\)

Tìm \(a \in (0;2\pi )\) để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}(1 + 2\cos a){x^2} \) \(+ 2x\cos a + 1\) đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:

a) g(x) = |x³ + 3x² – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]

b) f(x) = x⁴ – 4x² + 1 trên đoạn [-1; 2]

c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng \((0; + \infty )\)

Cho hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2}\) (m là tham số)  (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4{1 \over 2})\)

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4{1 \over 2}\) tại ba điểm phân biệt.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{4x + 4} \over {2x + 1}}\)

b) Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số  \(y = |{{4x + 4} \over {2x + 1}}|\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y =  - {1 \over 4}x - 3\)

Cho hàm số \(\displaystyle y = {{(2 + m)x + m - 1} \over {x + 1}}\)(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Xác định các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị của (1) khi \(m \in Z\).

Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(A = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ - 1}}{\rm{[}}{{{a^{{3 \over 2}}} - {b^{{3 \over 2}}}} \over {a - {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} - {{a - b} \over {\sqrt a  + \sqrt b }}{\rm{]}}\)

b) \(D = {49^{1 - {{\log }_7}2}} + {5^{ - {{\log }_5}4}}\)

Hãy biểu diễn:

a) \({\log _{30}}8\)  qua  \(a = {\log _{30}}3\) và \(b = {\log _{30}}5\) ;

b) \({\log _9}20\) qua \(a = \log 2\) và \(b = \log 3\)

Giải các phương trình sau:

a) \({({{13} \over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} \over {13}})^{2x + 3}}\)

b) \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} + {(4 + \sqrt {15} )^{\tan x}} = 8\)

c) \({(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x} = 13\)

Giải các phương trình sau:

a) \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1\)

b) \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)

c) \({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\)

d) \({\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1\)

e) \(\displaystyle {{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\)

g) \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 1\)

b) \(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} \) \(< 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} + 2x + 6\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \({(0,5)^{{1 \over x}}} \ge 0,0625\)

b) \({\log _2}{\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 2\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx} \) (đặt t  = x  +3)    

b) \(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx} \)

c) \(\int\limits_{ - 3}^2 {{{dx} \over {\sqrt {x + 7}  + 3}}} \)    (đặt \(t = \sqrt {x + 7} \)  hoặc \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\) )

d) \(\int\limits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} \)

e) \(\int\limits_2^5 {{{\sqrt {4 + x} } \over x}dx} \) (đặt \(t = \sqrt {4 + x} \) )

Tính:

a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {(5{x^2} - x + {e^{0,5x}})dx} \)

b) \(\int\limits_{0,5}^2 {(2\sqrt x  - {3 \over {{x^3}}} + \cos x)dx} \)

c) \(\int\limits_1^2 {{{dx} \over {\sqrt {2x + 3} }}} \)   (đặt \(t = \sqrt {2x + 3} \) )

d) \(\int\limits_1^2 {\root 3 \of {3{x^3} + 4} {x^2}dx} \)  (đặt \(t = \root 3 \of {3{x^3} + 4} \))

e) \(\int\limits_{ - 2}^2 {(x - 2)|x|dx} \)

g) \(\int\limits_1^0 {x\cos xdx} \)

h) \(\int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{1 + \sin 2x + \cos 2x} \over {\sin x + \cos x}}} dx\)

i) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{e^x}\sin xdx} \)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = |x² – 1| và y = 5 + |x|

b) 2y = x² + x – 6  và 2y = -x² + 3x + 6

c) \(y = {1 \over x} + 1,x = 1\) và tiếp tuyến với đường \(y = {1 \over x} + 1\)  tại điểm \((2;{3 \over 2})\)

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

a) y = x³ ; y = 1 và x = 3

b) \(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi  \over 2}{\rm{]}}\)

c) \(y = {x^\alpha },\alpha  \in {N^*};y = 0;x = 0\) và x = 1

Chứng minh rằng:

a) \(i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{99}} + {i^{100}} = 0\)

b) \(\displaystyle {{(\sqrt 2  + i)(1 - i)(1 + i)} \over i} = 2 - 2\sqrt 2 i\)

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn các điều kiện:

a) |z – i| = 1

b) |2 + z| < |2 – z|

c) \(2 \le |z - 1 + 2i| < 3\)

Tính:

a) \(\displaystyle  {{5 + 2i} \over {7 - i}}\)

b) \(\displaystyle  {{3 - i} \over i} + {(5 - i)^2}\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3x² – 4x + 2 = 0

b) x² – x + 9 = 0

Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\matrix{{x + 2y = 1 + i} \cr {3x + iy = 2 - 3i} \cr} } \right.\)

Với những giá trị thực nào của x và y thì các số phức : \({z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5}\)  và \({z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}}\)  là liên hợp của nhau? 

Tìm môđun của các số phức sau:

a) \({z_1} =  - 8 + {1 \over 2}i\)

b) \({z_2} = \sqrt 3  - \sqrt 7 i\)