Bài tập 3 trang 146 SGK Giải tích 12

Phương pháp:

Câu a, do đồ thị hàm số đi qua A và B, nên thay tọa độ A và B vào hàm số ta sẽ thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ này ra sẽ tìm được a và b.

Câu b, thực hiên các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.

Câu c, áp dụng công thức tính thể tích khối trón xoay bằng tích phân.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 4 như sau:

Câu a:

Đồ thị hàm số y = f(x) = x³ + ax² + bx + 1  đi qua các điểm A(1;2) và B(-2; -1) khi:

\(\left\{\begin{matrix} f(1)=2\\ f(-2)=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1^3+a(1)^2+b(1)+1=2\\ (-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+1=-1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=0\\ 4a-2b=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-1 \end{matrix}\right.\)

Vậy hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán là: y = x³ + x² - x + 1.

Câu b:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x³ + x² - x + 1

Tập xác định: D = R.

Giới hạn:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^3+x^2-x+1)=+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }(x^3+x^2-x+1)=-\infty\)

Sự biến thiên:

\(y'=3x^2+2x-1;y'=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ \\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((\frac{1}{3};+\infty )\), hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1; \frac{1}{3})\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \(y_{CD}=y(-1)=2;\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{22}{27}\).

Đồ thị hàm số:

Tính đối xứng: Ta có \(y''=6x+2, y=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(\left ( -\frac{1}{3};\frac{38}{27} \right )\) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt trục Oy tại (0;1).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;2) và (1;2).

Đồ thị hàm số:

c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:

\(\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {({x^6} + 2{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 2x + 1)dx} \\ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^7}}}{7} + \frac{{{x^6}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{134\pi }}{{105}}. \end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247