YOMEDIA

Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Giải bài 11 tr 147 sách GK Toán GT lớp 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

a) \(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnx dx\)

b) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)

c) \(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinxdx\)

d) \(\int_{-1}^{0 }(2x+3)e^{-x}dx\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

Phương pháp:

Cách đặt khi tính tích phân từng phần của một số hàm thường gặp:

  • Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

  • Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 11 như sau:

Câu a:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=lnx\\ dv=\sqrt{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ \\ v=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{matrix}\right.\)

\(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnxdx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}lnx\bigg |^{e^4}_1- \frac{2}{3}\int_{1}^{e^4}x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}lnx \bigg |^{e^4}_1 -\frac{4}{9}\sqrt{x^3}\bigg |^{e^4}_1= \frac{4}{9}(5e^4+1)\).

Câu b:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ \\ dv=\frac{1}{sin^2x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-dx\\ v=-cot x \end{matrix}\right.\)

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{xdx}{sin^2x}=-xcot x \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}+ \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{cosx}{sinx}dx\)

\(=-xcot x \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}+ ln\left | sinx \right | \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} =\frac{\pi \sqrt{3}}{6}+ln2\).

Câu c:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\pi -x\\ dv=sinxdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-dx\\ v=-cosx \end{matrix}\right.\)

\(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinx dx=-(\pi -x)cosx \bigg |^{\pi }_0-\int_{0}^{\pi }cosxdx\)

\(=-(\pi-x)cos \bigg |^{\pi }_0-sinx\bigg |^{\pi }_0=\pi\).

Câu d:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=2x+3\\ dv=e^{-x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2dx\\ v=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)

\(\int_{-1}^{0}(2x+3)e^{-x}dx=(-2x+3)e^{-x} \bigg |^0_{-1}+2\int_{-1}^{0}e^{-x}dx\)

\(= -(2x+3)e^{-x}\bigg |^0_{-1}-2e^{-x}\bigg |^0_{-1}=3e-5\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA