Bài tập 4 trang 99 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Câu a: Để chứng minh hai mặt phẳng cùng nằm trong một mặt phẳng ta chứng minh chúng song song hoặc cắt nhau.

Câu b: Từ câu a ta đã chứng minh được AB và d đồng phẳng.

+ Nếu A và B nằm khác phía với đường thẳng d thì AI+BI nhỏ nhất khi A, B và I thẳng hàng. Khi đó I chính là tọa độ giao điểm của AB và d.

+ Nếu A và B nằm cùng phía với d thì AI+BI nhỏ nhất khi A', I, B thẳng hàng với A' là điểm đối xứng của A qua d, như hình vẽ sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(6;-4;4)\)

Vecto chỉ phương của d là \(\vec{a}_d=(3;-2;2)\)

Ta có \(AB=2\vec{a}_d\) và \(A\notin d\) nên AB // d.

Vậy AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu b:

Theo câu a AB song song với đường thẳng d nên điểm a và B nằm cùng một phía so với d.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d, ta có \(AI + BI = A'I + BI \geq A'B\)

A'I + BI ngắn nhất ⇔ A', I, B thẳng hàng.

Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A'B và d. Gọi M là trung điểm của AB, ta có

M(4;0;1) và \(\overline{MI}\perp \vec{a}_d\Leftrightarrow \overline{MI}. \vec{a}_d=0\)

Giả sử I(-1 + 3t, 2 - 2t, 2 + 2t)

\(\overline{MI}=(-5+3t,2-2t,1+2t)\)

\(\overline{MI}.\vec{a}_d=0\Leftrightarrow 3(-5+3t)-2(2-2t)+2(1+2t)=0\)

\(\Leftrightarrow 17t-17=0\Leftrightarrow t=1\)

Vậy I(2; 0; 4).

-- Mod Toán 12 HỌC247