Bài tập 8 trang 100 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Câu a: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0.\)

Câu b: Mặt phẳng (ABC) sẽ có VTPT là: \(\overrightarrow n = k.\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right](k \ne 0).\)

Câu c: Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, thì phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*)

Thay tọa độ 4 đỉnh vào (*) và giải hệ phương trình ta được giá trị của A, B, C, D.

Câu d: Thể tích tứ diện A, B, C, D được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 8 như sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(2;4;-1), \overrightarrow{AC}=(3;-1;2), \overrightarrow{AD}=(2;0;4)\)

Ta có: \(\left [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right ] = (7;-7;-14)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2.7 + 4( - 14) = - 42 \ne 0.\)

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.

Câu b:

Mp(ABC) đi qua A có vecto pháp tuyến \(\vec{n}=(1;-1;-2)\) 

Vậy (ABC) có phương trình là:

\(1(x-1)-1(y-0)-2(z+1)=0\Leftrightarrow x-y-2z-3=0\)

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là:

\(d(D,(ABC))=\frac{\left | 3-6-3 \right |}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}\)

Câu c:

Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giả sử phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*).

Do (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2 - 2a + 2c + d = 0\\ 29 - 6a - 8b + 4c + d = 0\\ 18 - 8a + 2b - 2c + d = 0\\ 18 - 6a - 6c + d = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + 8c = 16\\ - 8b + 10c = - 11\\ - 2a + 2b - 4c = 0\\ d = 6a + 6c - 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2\\ c = \frac{1}{2}\\ d = 3 \end{array} \right.\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2-d=\frac{41}{4}> 0\).

Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0.\)

Câu d:

Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 42} \right| = 7.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247