Bài tập 8 trang 123 SGK Hình học 12 NC

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {3, - 3, - 8} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4,0, - 4} \right)\\
\overrightarrow {AD}  = \left( {0, - 3,1} \right)\\
 \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right)\\
 \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 72 \ne 0
\end{array}\)

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: 

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)

Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
1 + 25 + 9 - 2a - 10b - 6c + d = 0\\
16 + 4 + 25 - 8a - 4b + 10c + d = 0\\
1 + 4 + 16 - 2a - 4b - 8c + d = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 3b - 8c = 5\\
a - c = 2\\
 - 3b + c =  - 7
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2\\
c =  - 1\\
d =  - 19
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 19 = 0.\)

Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−1) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19}  = 5.\)

c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến 

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right) = 4\left( {3, - 5,3} \right).\)

Mp(ABC) đi qua A(1,5,3) nên có phương trình:

Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là:

\(h = \left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|\)

 \(h = \frac{{\left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt {43} }}\)

d) Mặt phẳng (α) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 4, - 3,5} \right)\) nên có phương trình:

\( - 4x - 3y + 5z + d = 0.\)

Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I(1,2,−1) của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α) bằng 5, tức là:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| { - 4.1 - 3.2 - 5.1 + d} \right|}}{{\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 15 + d} \right|}}{{\sqrt {50} }} = 5\\
 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .
\end{array}\)

Vậy \(\left( \alpha  \right): - 4x - 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2  = 0.\)

e) Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−1), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { - 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} - d_3^2}  = \sqrt {25 - 4}  = \sqrt {21} .\)$$

-- Mod Toán 12 HỌC247