Bài tập 14 trang 101 SGK Hình học 12

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}= \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2(\overrightarrow{GB} -\overrightarrow{GC})= \vec{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{CB}= \vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB}\)

Suy ra G nằm trên đường thẳng qua A và song song với CB sao cho \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {CB} .\)

Câu b:

Ta có: 

\(\overrightarrow{MA}^2+2\overrightarrow{MB}^2-2\overrightarrow{MC}^2=k^2\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{MG})^2- 2(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM})^2-2(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM})^2= k^2\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}^2+2\overrightarrow{GB}^2-2\overrightarrow{GC}^2+ \overrightarrow{GM}^2\) \(-2\overrightarrow{GM} (\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC})=k^2\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MG}^2=k^2-(GA^2+2GB^2-2GC^2)\)

Từ đó suy ra:

- Nếu \(k^2-(GA^2+2GB^2-2GC^2)<0\) thì M không tồn tại.

- Nếu \(k^2-(GA^2+2GB^2-2GC^2)=0\) thì \(M\equiv G\).

- Nếu \(k^2-(GA^2+2GB^2-2GC^2)>0\) thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm tâm G, bán kính bằng \(\sqrt{k^2-(GA^2+2GB^2-2GC^2)}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247