Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12

Phương pháp giải:

Trước khi giải bài 2, các em cần ôn lại bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 (trùng phương):

- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

- Sự biến thiên:

+ Tính đạo hàm \(y' = 4{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2bx}}\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 2bx = 0\\
 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{2a{x^2} + b = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} = \frac{{ - b}}{{2a}}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow ...}
\end{array}\)

- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực (\(x \to \pm \infty\)).

- Hàm trùng phương không có Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

- Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

- Đồ thị:

+ Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c).

+ Giao của đồ thị với trục Ox: \(y = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + c}} = 0 \Leftrightarrow x = ? \Rightarrow (?;0)\).

+ Các điểm cực tiểu, cực đại (nếu có).

Trong thực tế, trong quá trình giải bài tập để thuận lợi hơn trong việc tính toán toán ta có thể tính giới hạn, lập bảng biến thiên trước mới đưa ra kết luận về tính đơn điệu, cực trị của hàm số.

Lời giải:

Áp dụng các bước trên ta có lời giải chi tiêt câu a, b, c, d bài 2:

Câu a:

Xét hàm số y=-x⁴+8x²-1

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' =-4x³ + 16x = -4x(x² - 4)

y' = 0  ⇔ x = 0 hoặc x = ±2 .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và (0;2), nghịch biến trên các khoảng (-2;0) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và x = 2, giá trị cực đại y_CĐ = y(-2) = y(2) = 15. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu y_CT = y(0) = -1.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Biểu thị các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm:

\(\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 - \sqrt {15} ;0} } \right);\)

\(\left( {\sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right)\) 

đây là các điểm có tọa độ lẻ ta cần ước lượng vị trí gần đúng để vẽ đồ thị cho chính xác hơn. Đồ thị cắt trục Oy tai điểm (0;-1).

Đồ thị của hàm số:

Câu b:

Xét hàm số y = x⁴ - 2x² + 2

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1).

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1 .

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right),\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)và (0;1).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y_CĐ= y(0) = 2, hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = y(-1) = y(1) = 1.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Biểu diễn các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt Oy tại điểm (0;2).

Ta thây với các điểm đã có ta chưa vẽ được đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm một điểm có hoành độ x₁ < -1 và một điểm có hoành độ x₂ > 1 thuộc đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua trục tung. Ta chọn: với x₁ = -2 ta có y = 10, với x₂ = 2 ta có y = 10.

Đồ thị hàm số:

Câu c:

Xét hàm số \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\)

Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' =2x³ + 2x = 2x(x² + 1); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(0)=-\frac{3}{2}.\) Hàm số không có cực đại.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm: \(\left ( 0;-\frac{3}{2} \right )\), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: 

\(\frac{1}{4}{x^4} + {x^2} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } .\) 

Vậy tọa độ giao điểm là:

\(\left( {\sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right);\left( { - \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right).\)

Đồ thị:

Câu d:

Xét hàm số y = - 2x² - x⁴ + 3

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\).

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -4x - 4x³ = -4x(1 + x²); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y_CT = y(0) = 3.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;3), cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(- {x^4} - 2{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Đồ thị của hàm số:

-- Mod Toán 12 HỌC247