Giải bài 2 tr 43 sách GK Toán GT lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).
b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).
c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).
d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải:
Trước khi giải bài 2, các em cần ôn lại bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 4 (trùng phương):
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
- Sự biến thiên:
+ Tính đạo hàm \(y' = 4{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2bx}}\)
+ Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 2bx = 0\\
\Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{2a{x^2} + b = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} = \frac{{ - b}}{{2a}}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow ...}
\end{array}\)
- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực (\(x \to \pm \infty\)).
- Hàm trùng phương không có Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
- Đồ thị:
+ Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c).
+ Giao của đồ thị với trục Ox: \(y = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + c}} = 0 \Leftrightarrow x = ? \Rightarrow (?;0)\).
+ Các điểm cực tiểu, cực đại (nếu có).
Trong thực tế, trong quá trình giải bài tập để thuận lợi hơn trong việc tính toán toán ta có thể tính giới hạn, lập bảng biến thiên trước mới đưa ra kết luận về tính đơn điệu, cực trị của hàm số.
Lời giải:
Áp dụng các bước trên ta có lời giải chi tiêt câu a, b, c, d bài 2:
Câu a:
Xét hàm số y=-x4+8x2-1
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' =-4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±2 .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và (0;2), nghịch biến trên các khoảng (-2;0) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và x = 2, giá trị cực đại yCĐ = y(-2) = y(2) = 15. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -1.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Biểu thị các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm:
\(\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 - \sqrt {15} ;0} } \right);\)
\(\left( {\sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right)\)
đây là các điểm có tọa độ lẻ ta cần ước lượng vị trí gần đúng để vẽ đồ thị cho chính xác hơn. Đồ thị cắt trục Oy tai điểm (0;-1).
Đồ thị của hàm số:
Câu b:
Xét hàm số y = x4 - 2x2 + 2
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1).
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1 .
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right),\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)và (0;1).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCĐ= y(0) = 2, hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = y(1) = 1.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Biểu diễn các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt Oy tại điểm (0;2).
Ta thây với các điểm đã có ta chưa vẽ được đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm một điểm có hoành độ x1 < -1 và một điểm có hoành độ x2 > 1 thuộc đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua trục tung. Ta chọn: với x1 = -2 ta có y = 10, với x2 = 2 ta có y = 10.
Đồ thị hàm số:
Câu c:
Xét hàm số \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\)
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' =2x3 + 2x = 2x(x2 + 1); y' = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(0)=-\frac{3}{2}.\) Hàm số không có cực đại.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm: \(\left ( 0;-\frac{3}{2} \right )\), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình:
\(\frac{1}{4}{x^4} + {x^2} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } .\)
Vậy tọa độ giao điểm là:
\(\left( {\sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right);\left( { - \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right).\)
Đồ thị:
Câu d:
Xét hàm số y = - 2x2 - x4 + 3
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\).
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2); y' = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCT = y(0) = 3.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;3), cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(- {x^4} - 2{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).
Đồ thị của hàm số:
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) song song với đường thẳng \(y = 24x - 1\) là:
bởi Lê Minh
02/06/2021
A. \(y = 24x - 43\)
B. \(y = - 24x - 43\)
C. \(y = 24x + 43\)
D. \(y = 24x + 1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4}-2{x^2}\) tại điểm có hoành độ \(x = - 2\) là đáp án?
bởi Nguyen Dat
03/06/2021
A. \(y = - 24x + 40\)
B. \(y = 24x - 40\)
C. \(y = - 24x - 40\)
D. \(y = - 24x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x - 5\) có cực trị.
bởi Lê Trung Phuong
03/06/2021
A. \(m > 0\)
B. \( - 1 < m < 1\)
C. \(m \le 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
A. \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
B. \(y = a{x^3} + cx + d\) với \(a < 0\).
C. \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a > 0\) và \({b^2} - 3ac > 0\).
D. \(y = {x^3}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 5\) có ba cực trị khi nào?
bởi Anh Nguyễn
02/06/2021
A. \( - 2 < m < 2\)
B. \(m = 2\)
C. \(m < - 2\)
D. \(m > 2\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hàm số sau \(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi:
bởi Meo Thi
03/06/2021
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = - 3\)
D. \(m = 4\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
bởi Van Tho
02/06/2021
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC