RANDOM

Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12

Giải bài 1.65 tr 37 SBT Toán 12

Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)

RANDOM

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Tập xác định: D = R

Ta có 

\(y' = {x^3} - 4x;y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm 2
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) \(\begin{array}{l}
\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\\
 \Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 3}\\
{x = 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Nên (C) cắt Ox tại hai điểm (−3;0) và (3;0).

Ta có: \(y' = {x^3} - 4x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y'\left( 3 \right) = 15}\\
{y'\left( { - 3} \right) =  - 15}
\end{array}} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (3;0) là \(y = 15\left( {x - 3} \right) + 0\) 

hay \(y = 15x - 45\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (−3;0) là \(y =  - 15\left( {x + 3} \right) + 0\) 

hay \(y =  - 15x - 45\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4} = k - 2{x^2} \)

\(\Leftrightarrow {x^4} = 9 + 4k\,\,\left( * \right)\)

+) Nếu \(9 + 4k > 0 \Leftrightarrow k >  - \frac{9}{4}\) thì :

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = \sqrt {9 + 4k} }\\
{{x^2} =  - \sqrt {9 + 4k} \left( L \right)}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt[4]{{9 + 4k}}
\end{array}\)

hay (∗) có hai nghiệm phân biệt.

+) Nếu \(9 + 4k = 0 \Leftrightarrow k =  - \frac{9}{4}\) thì:

\(\left(  *  \right) \Leftrightarrow {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) 

hay (∗) có nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(9 + 4k < 0 \Leftrightarrow k <  - \frac{9}{4}\) thì (∗) vô nghiệm.

Vậy: +) \(k =  - \frac{9}{4}\) : (C) và (P) có một điểm chung là \(\left( {0; - \frac{9}{4}} \right)\)

+) \(k >  - \frac{9}{4}\):  (C) và (P) có hai giao điểm.

+) \(k <  - \frac{9}{4}\) : (C) và (P) không cắt nhau.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA