RANDOM

Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12

Giải bài 1.63 tr 37 SBT Toán 12

Cho hàm số 

\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\,\,(1)\)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi .

d) Xác định  để (C) cắt đường thẳng  tại ba điểm phân biệt

RANDOM

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Gọi \(({x_0};{y_0})\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{y_0} = x_0^3 - (m + 4)x_0^2 - 4{x_0} + m}\\
{ \Leftrightarrow x_0^3 - mx_0^2 - 4x_0^2 - 4{x_0} + m - {y_0} = 0}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (x_0^3 - 4x_0^2 - 4{x_0} - {y_0})\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - m(x_0^2 - 1) = 0(*)
\end{array}
\end{array}\)

Vì \(({x_0};{y_0})\) cố định, nên ta có phương trình (*) đúng với mọi m, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x_0^3 - 4x_0^2 - 4{x_0} - {y_0} = 0}\\
{x_0^2 - 1 = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 1}\\
{{y_0} =  - 7}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} =  - 1}\\
{{y_0} =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy có hai điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là (1;7) và (1;1)

b) Ta có:

\(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\)

\(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\,\forall m\)

Vậy đồ thị hàm số (1) luôn có cực trị.

c) Với  ta có:

\(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\)

TXĐ: 

\(y' = 3{x^2} - 8x - 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Đồ thị

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm

 \(\begin{array}{l}
{x^3} - 4{x^2} - 4x = kx\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - (4 + k)x = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 4x - 4 - k = 0
\end{array} \right.\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Để (C) cắt đường thẳng  tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0, hay \(\left\{ \begin{array}{l}
4 + 4 + k > 0\\
k \ne  - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k >  - 8\\
k \ne  - 4
\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA