Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12

a)

Ta có: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} - 4x + m\\
\Leftrightarrow y - {x^3} + m{x^2} + 4{x^2} + 4x - m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m{x^2} - m} \right) + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với mọi \(m\) khi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y =  - 7\\x =  - 1;y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \(\left( {1; - 7} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right).\)

b) 

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\); \(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\forall m\)

Do dó phương trình \(y' = 0\) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó).

Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) 

Với \(m = 0\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

Có \(y' = 3{x^2} - 8x - 4\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3};\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}\), đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

d)

Với \(m = 0\) ta có:\(y = {x^3}-4{x^2}-4x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3}-4{x^2}-4x = kx\) (2)

Đường thẳng \(y = kx\) cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.

Có

\(\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - 4x - kx = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - \left( {k + 4} \right)x = 0
\end{array}\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right) = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 4 + k + 4 > 0\\
{0^2} - 4.0 - \left( {k + 4} \right) \ne 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + 8 > 0\\-k -4\ne  0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k >  - 8\\k \ne  - 4\end{array} \right.\).

Vậy với \(k >  - 8\) và \(k \ne  - 4\) thì \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.

-- Mod Toán 12 HỌC247