Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12

a) Gọi \(({x_0};{y_0})\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{y_0} = x_0^3 - (m + 4)x_0^2 - 4{x_0} + m}\\
{ \Leftrightarrow x_0^3 - mx_0^2 - 4x_0^2 - 4{x_0} + m - {y_0} = 0}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (x_0^3 - 4x_0^2 - 4{x_0} - {y_0})\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - m(x_0^2 - 1) = 0(*)
\end{array}
\end{array}\)

Vì \(({x_0};{y_0})\)$$ cố định, nên ta có phương trình (*) đúng với mọi m, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x_0^3 - 4x_0^2 - 4{x_0} - {y_0} = 0}\\
{x_0^2 - 1 = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 1}\\
{{y_0} =  - 7}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} =  - 1}\\
{{y_0} =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy có hai điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là (1;−7)$(1;-7)$ và (−1;−1)$(-1;-1)$

b) Ta có:

\(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\)

\(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\,\forall m\)

Vậy đồ thị hàm số (1) luôn có cực trị.

c) Với m = 0 ta có:

\(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\)

TXĐ: D = R

\(y' = 3{x^2} - 8x - 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Đồ thị

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm

 \(\begin{array}{l}
{x^3} - 4{x^2} - 4x = kx\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - (4 + k)x = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 4x - 4 - k = 0
\end{array} \right.\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0, hay \(\left\{ \begin{array}{l}
4 + 4 + k > 0\\
k \ne  - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k >  - 8\\
k \ne  - 4
\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247