ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC

Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I I  là nghiệm của phương trình f′′(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng  I  là tâm đối xứng của đường cong (C)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm  I  đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \(( - \infty ;1)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \((1; + \infty )\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a)

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6\\
f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) =  - 1
\end{array}\)

Vậy I(1;-1)

b) Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y - 1

Phương trình đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y\prime  = 4x - 3;y\prime  = 0\\
 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4};y\left( {\frac{3}{4}} \right) =  - \frac{1}{8}
\end{array}\\
{I\left( {\frac{3}{4}; - \frac{1}{8}} \right)}\\
{\overrightarrow {OI} :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y - 1}
\end{array}} \right.}\\
{Y - 1 = {{(X + 1)}^3} - 3{{(X + 1)}^2} + 1}\\
\begin{array}{l}
 = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1\\
 \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X
\end{array}
\end{array}\)

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị (C) của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

c) Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hệ trục tọa độ Oxy là:

\(\begin{array}{l}
y - {y_1} = f\prime ({x_1})(x - {x_1})\\
 \Leftrightarrow y + 1 =  - 3(x - 1)\\
 \Leftrightarrow y =  - 3x + 2
\end{array}\)

Đặt g(x) = -3x + 2

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)\\
 = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}
\end{array}\)

Vì f(x) - g(x) < 0 với x < 1

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1