ADMICRO
UREKA

Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC

Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC

Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Với m = 2 ta có \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 4{x^3} - 6x;\\
y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}} }
\end{array}} \right.;\\
y\left( 0 \right) = 2;y\left( { \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) =  - \frac{1}{4}
\end{array}\)

Bảng biến thiên

\(\begin{array}{l}
y\prime \prime  = 12{x^2} - 6;\\
y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{1}{2}} ;\\
y\left( { \pm \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{3}{4}
\end{array}\)

Đồ thị có hai điểm uốn:

\({I_1}\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right);{I_2}\left( {\sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right)\)

Điểm đặc biệt

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
{x^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 1\\
x =  \pm \sqrt 2 
\end{array} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (x0; y0) khi và chỉ khi 

\(\begin{array}{l}
{y_0} = x_0^4 - (m + 1)x_0^2 + m\\
 \Leftrightarrow (1 - x_0^2)m + x_0^4 - x_0^2 - {y_0} = 0{\mkern 1mu} \left( 1 \right)
\end{array}\)

Đồ thị đi qua điểm (x0; y0) với moi giá trị của mm khi và chỉ khi phương trình (1)(1) nghiệm đúng với mọi mm, tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - x_0^2 = 0\\
x_0^4 - x_0^2 - {y_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định (−1; 0) và (1; 0).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO
 

 

YOMEDIA
OFF