Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

60 BT SGK

398 FAQ

Giải bài 7 tr 44 sách GK Toán GT lớp 12

Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).

Toán 12 Chương 1 Bài 5 Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5 Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Nhận xét và phương pháp giải:

- Câu a, yêu cầu tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước, rất đơn giản ta chỉ cần thay tọa điểm đó vào hàm số tương ứng y là tung độ, x là hoành độ, khi đó ta chỉ cần giải phương trình tìm tham số m.

- Câu b, tham giá trị của m vào hàm số ta sẽ được một hàm số cụ thể sau đó thực hiện các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.

- Câu c, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M(x₀,y₀) thuộc đồ thị hàm số đã học ở chương trình lớp 11 có dạng \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

Như vậy trong câu c, ta cần phải xác định được tọa độ tiếp điểm. Mặc khác theo đề bài ta có tung độ tiếp điểm bằng \(\frac{7}{4}\), từ đó ta thay vào hàm số sẽ được tìm hoành độ.

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 7 như sau:

Câu a:

Điểm (-1;1) thuộc đồ thị của hàm số nên ta có:

\(1 = \frac{1}{4}{\left( { - 1} \right)^4} + \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} + m \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\).

Câu b:

Với m = 1 ta có hàm số:

\(y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

Sự biến thiên:

\(y = {x^3} + x = x\left( {{x^2} + 1} \right);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên câu b bài 7 trang 44 SGK Giải tích lớp 12

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu y_CT= y(0) = 1.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1).

Với x = 1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)

Với x = -1 ta có \(y=\frac{7}{4}.\)

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số câu c bài 7 trang 44 SGK Giải tích lớp 12

Câu c:

Với \(y=\frac{7}{4}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + 1 = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}\)
Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ \(y=\frac{7}{4}\) là \(A\left ( 1;\frac{7}{4} \right )\)và \(B\left ( -1;\frac{7}{4} \right )\).

Ta có: y' = x³+ x suy ra: y'(-1) = - 2, y'(1) = 2.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: \(y - \frac{7}{4} = y'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y = 2x - \frac{1}{4}.\)

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là: \(y - \frac{7}{4} = y'(-1)(x + 1) \Leftrightarrow y = -2x - \frac{1}{4}.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ

YOMEDIA

Để luyện tập thêm dạng bài tương tự như Bài tập 7 trang 44 trong SGK các em làm thêm câu hỏi trắc nghiệm sau để cũng cố kỹ năng làm dạng bài.

Câu 1:
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
- A. m>-3
- B. 0<m<3
- C. 3<m<4
- D. m>4
Câu A
\(m \in \left\{ {0;4} \right\}\)

Dựa vào đồ thị bài ra, ta thấy \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3\) (C).

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right),f\left( x \right) \ge 0}\\ { - f\left( x \right),f\left( x \right) < 0} \end{array}} \right.\). Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) gồm hai phần:

- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của (C).

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới Ox qua Ox.

- Ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như hình vẽ bên.

Khi đó, dựa vào đồ thị, để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi \(3 < m < 4\).