Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12

Nhận xét và phương pháp giải:

Câu a là một bài khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm tương tự câu 1 đã làm nên không nhắc lại ở đây, trọng tâm bài toán này là ở câu b.

Đây là bài toán: 

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0 với m là tham số.

Với bài 5, ta sẽ chuyển bài toán về dạng:

f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).

- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao diểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

Đó là phương pháp để giải bài toán này, có thể nhiều em khi đọc qua phần lý thuyết này vẫn chưa hình dung được phải làm như thế nào. Vậy xin mời các em tham khảo lời giải chi tiết sau để hiểu và nắm phương pháp làm bài.

Lời giải:

Câu a:

Với m = 1 ta có hàm số: y =  -x³ + 3x + 1

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -3x² + 3 = -3(x² - 1); y' = 0 ⇔ x = -1, x = 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực tiểu y_CĐ = y(1) = 3; đạt cực tiểu tại x = - 1, giá trị cực tiểu y_CT = y(-1) = -1. 

Đồ thị: 

Tính đối xứng: y'' = - 6x, y'' = 0 ⇔ x = 0. Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (0;1).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;3); (2;-1).

Đồ thị hàm số:

Câu b:

Xét phương trình x³ - 3x + m = 0 ⇔ - x³ + 3x + 1 = m + 1 (1).

Số nghiệm của (1) chính là  số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = m + 1.

Từ đồ thị ta thấy :

- Khi: m + 1 < -1 ⇔ m < -2: (d) cắt (C) tại 1 điểm suy ra (1) có 1 nghiệm.

- Khi: m + 1 = -1 ⇔ m = -2: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm suy ra (1) có 2 nghiệm.

- Khi: -1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2: (d) cắt (C) tại 3 điểm suy ra (1) có 3 nghiệm.

- Khi: m + 1 = 3 ⇔ m = 2: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm suy ra (1) có 2 nghiệm.

- Khi: m + 1 > 3 ⇔ m > 2: (d) cắt (C) tại 1 điểm suy ra (1) có 1 nghiệm.

-- Mod Toán 12 HỌC247