Giải bài 1 tr 43 sách GK Toán GT lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).
b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).
c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).
d) \(\small y = -2x^3 + 5\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Phương pháp giải:
Trước khi giải bài 1, ta cùng ôn lại các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3:
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
- Sự biến thiên: Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm: \(y' = 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2bx + c}}\)
+ \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2bx + c = 0}}\) (Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải \(\Delta ;\Delta '\) nếu nghiệm lẻ - không được ghi nghiệm gần đúng).
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực (\(x \to \pm \infty\))
- Hàm số bậc ba nói riêng và các hàm số đa thức nói chung không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
- Đồ thị:
+ Tính đối xứng: Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f''(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
+ Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y=d => (0; d)
+ Giao của đồ thị với trục Ox: \(y = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + cx + d}} = 0 \Leftrightarrow x = ?\)
+ Các điểm CĐ; CT (nếu có).
+ Lấy thêm một số điểm (nếu cần), điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.
Trong thực tế, khi giải bài tập để thuận lợi cho việc tính toán ta thường tính giới hạn, lập bảng biến thiên rồi mới suy ra cực trị của hàm số.
Lời giải:
Áp dụng ta tiến hành giải câu a, b, c, d bài 1 như sau:
Câu a:
Xét hàm số y = 2 + 3x - x3
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3 - 3x2 .
Ta có: y' = 0 ⇔ x = ± 1 .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;1), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(1) = 4, đạt cực tiểu tại x = -1 và yCT = y(-1) = 0.
Đồ thị:
Ta có: y'' = -6x; y'' = 0 ⇔ x = 0. Với x = 0 ta có y = 2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng.
Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (2;0) và (-1;0), cắt Oy tại điểm (0;2).
Đồ thị hàm số nhận điểm (0;2) làm điểm uốn.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x = -2 suy ra y = 4.
Câu b:
Xét hàm số y = x3 + 4x2 + 4x
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3x2 + 8x + 4.
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại ycđ = y(-2) = 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\)
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 nên tọa độ các giao điểm là (0;0) và (-2;0).
Câu c:
Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3x2 + 2x + 9 > 0, ∀x.
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0), cắt trục Oy tại điểm (0;0).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 ⇔ 6x+2 = 0 ⇔ \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\)
Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm (-1;-9) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\)
Câu d:
Xét hàm số y=-2x3+5
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -6x2 ≤ 0, ∀x.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị:
Tính đối xứng: y'' = -12x; y'' = 0 ⇔ x = 0. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;5) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5), đồ thị cắt trục Ox tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Cho hàm số y=(m-1)x+m+2. Vẽ đồ thị hàm số khi m=2 tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểmA (2;-1)
bởi Jeong Taeil Zễ Thương 16/11/2022
tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểmA (2;-1)
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (y = {x^4} - 2{x^2} - 2)
bởi Thành Lâm 01/11/2022
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x^4-2x^2-2Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tìm m để ĐTHS y=x³-2x² +(1-m)x + m cắt Ox tại 3 điểm pb vó hoành độ đều lớn hơn 1/2.
bởi Cẩm Tú 30/10/2022
Mn giải giúp mình với mai mình ktra òi:((Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Cho hàm số sau: \(y = {{mx - 1} \over {x - m}},m \ne \pm 1\) Gọi \(\left( {{H_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.
bởi truc lam 26/10/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh có hai tiếp tuyến chung của parabol \(y = {x^2} - 3x\) đi qua điểm \(A\left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) và chúng vuông góc với nhau.
bởi Thanh Truc 26/10/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình sau \(y = {x^2} - 3x - 1\). Tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số \(y = {{ - {x^2} + 2x - 3} \over {x - 1}}\). Viết phương trình tiếp tuyến tuyến chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng.
bởi Bảo Anh 26/10/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số sau \(f(x) = {x^2} - 3x + 4,g(x) = 1 + {1 \over x}\) và \(h(x) = - 4x + 6\sqrt x \) tiếp xúc với nhau tại một điểm.
bởi Long lanh 25/10/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC