Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = R \ {-1}

\(y\prime  = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\)

Tiệm cận đứng y = 2

\(\mathop {\lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \)

Tiệm cận đứng y = 2

Bảng biến thiên

Đồ thị giao Ox tại điểm (1/2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;−1)

b) Phương trình đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m là:

y - 2 = m(x + 2) hay y = mx + 2m + 2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
mx + 2m + 2 = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\\
 \Leftrightarrow (mx + 2m + 2)(x + 1) = 2x - 1(1)\\
 \Leftrightarrow f(x) = {x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0(2)
\end{array}\)

(vì x = −1 không là nghiệm của (1))

• Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta  = {m^2} - 12m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \) m < 0 hoặc m > 12 (*)

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị.

Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < −1 < x₂

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\\
 \Leftrightarrow ({x_1} + 1)({x_2} + 1) < 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{m} - \frac{{3m}}{m} + 1 < 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \frac{3}{m} < 0}
\end{array}\)

Vậy với m < 0 thì (d_m) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

-- Mod Toán 12 HỌC247