Giải bài 6 tr 44 sách GK Toán GT lớp 12
Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 6
Hướng dẫn:
Để giải câu a bài 6, các em cần nắm được điều kiện để hàm số đồng biến trên một miền cho trước:
Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên miền D khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- \(f'(x) > 0,\forall x \in D\).
- \(f'(x) \geq 0,\forall x \in D\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số điểm hữu hạn \(x_0 \in D\) (Phương trình \(f'(x) = 0\) có hữu hạn nghiệm).
Với câu b bài 6, ta tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số theo m, rồi từ dữ kiện đường tiệm cận đó đi qua một điểm ta tìm được giá trị m.
Chú ý: khi chỉ xét tiệm cận đứng ta chỉ cần quan tâm đến hoành độ điểm mà tiệm cận đi qua.
Lời giải:
Câu a:
Xét hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}\)
\(y' = \frac{{{m^2} + 2}}{{\left( {2x + m} \right)}} > 0,\forall m\) và \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}.\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{m}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{m}{2}; + \infty } \right).\)
Câu b:
Điều kiện đề hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có tiệm cận đứng là:
\(\left\{ \begin{array}{l} c \ne 0\\ ad - bc \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2 \ne 0\\ {m^2} + 2 \ne 0,\forall m \end{array} \right.\)
(luôn đúng).
Ta có:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = - \infty ;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = + \infty\)
Nên đường thẳng \(x=-\frac{m}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tiệm cận đứng đi qua \(A\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\) khi và chỉ khi: \(- \frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2.\)
Khi tìm điều kiện liên quan đến tiệm cận đứng ta chỉ cần quan tâm đến hoành độ, cụ thể trong bài 6, đường thẳng x = -1 sẽ đi qua \(A\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).
Câu c:
Với m = 2, ta có hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}}\)
Tập xác định \(D = \backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Tiệm cận:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = + \infty ;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = - \infty\)
Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1\)
Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
Đạo hàm: \(y' = \frac{6}{{{{(2x + 2)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại \(\left ( \frac{1}{2};0 \right )\); cắt Oy tại \(\left ( 0;-\frac{1}{2} \right )\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left ( -2;\frac{5}{2} \right )\).
Đồ thị của hàm số:
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x - 5\) có cực trị.
bởi Lê Trung Phuong 03/06/2021
A. \(m > 0\)
B. \( - 1 < m < 1\)
C. \(m \le 0\)
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
A. \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
B. \(y = a{x^3} + cx + d\) với \(a < 0\).
C. \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a > 0\) và \({b^2} - 3ac > 0\).
D. \(y = {x^3}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hàm số \(y = {x^4} + \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 5\) có ba cực trị khi nào?
bởi Anh Nguyễn 02/06/2021
A. \( - 2 < m < 2\)
B. \(m = 2\)
C. \(m < - 2\)
D. \(m > 2\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hàm số sau \(y = {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi:
bởi Meo Thi 03/06/2021
A. \(m = 1\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = - 3\)
D. \(m = 4\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
bởi Van Tho 02/06/2021
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Chứng minh rằng với mọi \(m\), tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).
bởi Nguyễn Vũ Khúc 02/06/2021
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Chứng minh rằng với mọi \(m\), tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Xét tính đơn điệu của hàm số.
bởi Nguyễn Minh Minh 02/06/2021
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\). Xét tính đơn điệu của hàm số.
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC