ADMICRO
UREKA

Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC

Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm  của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) TXĐ: D = R \ {-2}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng

Ta có: \(y = 2x + 1 + \frac{2}{{x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{2}{{x + 2}} = 0\)

Nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y\prime  = 2 - \frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}\\
 = \frac{{2[{{(x + 2)}^2} - 1]}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{2(x + 1)(x + 3)}}{{{{(x + 2)}^2}}}
\end{array}\\
{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1;y\left( { - 1} \right) = 1}\\
{x =  - 3;y\left( { - 3} \right) =  - 7}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Bảng biến thiên 

Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = 2

b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y = 2x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 3
\end{array} \right.\)

Vậy I(-2; -3)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \): 

\(\left\{ \begin{array}{l}

x = X - 2\\
y = Y - 3
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + \frac{2}{{X - 2 + 2}}\\
 \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + \frac{2}{X}\\
 \Leftrightarrow Y = 2X + \frac{2}{X}
\end{array}\)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc I làm tâm đối xứng.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} =  - m
\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số và đường thẳng y=−m
Dựa vào đồ thị ta có:
+) −m <−7 hoặc – m > 1 ⇔ m > 7 hoặc m<−1 : phương trình có 2 nghiệm;
+) −m =−7 hoặc –m = 1 ⇔ m = 7 hoặc m = −1: phương trình có 1 nghiệm;
+) −7 < m < 1 ⇔ −1 < m < 7: phương trình vô nghiệm.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
ADMICRO
 

 

YOMEDIA
OFF