YOMEDIA

Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12

Giải bài 1 tr 91 sách GK Toán Hình lớp 12

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Phương pháp:

  • Câu a: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\).
  • Câu b: \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|.\)
  • Câu c: Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 1 như sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0),\,\,\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.( - 3) + 1.1 + 1.( - 1) = - 3 \ne 0.\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.

Câu b:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0); \overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\)

\(cos(AB,CD) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 1 + 0} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 9 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 450.

Câu c:

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 2; - 2} \right). \end{array}\)

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0;1;0) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) làm VTPT nên có phương trình là:

\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2(z - 0) = 0\) hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0.\)

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là khoảng cách từ A đến mp(BCD), ta có:

\(AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 1+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=1\).

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA