Giải bài 1 tr 91 sách GK Toán Hình lớp 12
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Phương pháp:
- Câu a: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\).
- Câu b: \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|.\)
- Câu c: Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Lời giải:
Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 1 như sau:
Câu a:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0),\,\,\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.( - 3) + 1.1 + 1.( - 1) = - 3 \ne 0.\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.
Câu b:
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0); \overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\)
\(cos(AB,CD) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 1 + 0} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 9 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 450.
Câu c:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 2; - 2} \right). \end{array}\)
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0;1;0) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) làm VTPT nên có phương trình là:
\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2(z - 0) = 0\) hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0.\)
Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là khoảng cách từ A đến mp(BCD), ta có:
\(AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 1+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=1\).
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Đạo hàm của hàm số y=3x là
bởi Thao Tiếp
08/12/2019
Ôn thi học kỳ ITheo dõi (0) 4 Trả lời -
Thiết diện qua trục của 1 hình nón là tam giác vuông cân có chiều cao bằng 6 căn 3
bởi hồ thị khánh ly
01/12/2019
Thiết diện qua trục của 1 hình nón là tam giác vuông cân có chiều cao bằng 6 căn 3 .tính v?Theo dõi (0) 4 Trả lời -
trong không gian oxyz cho a(3;-2;2) b(-2;-2;0) mặt phẳng (p) 2x-y+2z-3=0, M va N di động trên p sao cho MN=1. giá trị nhỏ nhất biểu thức 2MA^2+3MB^2
Theo dõi (0) 8 Trả lời -
Tìm các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S_ABCD=3S_ABC
bởi Trang Nguyễn Thị Thanh
05/06/2019
- giúp mình câu này vs ạTheo dõi (0) 4 Trả lời -
Cho đường thẳng d:x−2−1=y+1−1+z+11d:x−2−1=y+1−1+z+11và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z =0. Đường thẳng ΔΔ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là
Theo dõi (0) 5 Trả lời