Bài tập 3.54 trang 132 SBT Hình học 12

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\vec a(0; - 2;1)\). Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\vec b(1;0; - 1)\).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow a \\
\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow b 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a  = 0\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b  = 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0}\\
{ - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 5t - t\prime  - 14 = 0\\
t + 2t\prime  + 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t =  - 2\\
t' =  - 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Suy ra:  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1;2} \right)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247