Bài tập 3.67 trang 134 SBT Toán 12

a) (S) có tâm \(I( - \frac{3}{2}; - 2;\frac{5}{2})\) và có bán kính \(r = \sqrt {\frac{9}{4} + 4 + \frac{{25}}{4} - 6}  = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
d(I,(P)) = \frac{{|2.( - \frac{3}{2}) - 3.( - 2) + 4.(\frac{5}{2}) - 5|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\\
 = \frac{8}{{\sqrt {29} }} < \frac{{\sqrt {26} }}{2}
\end{array}\)

Vậy  d(I, (P)) < r

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P). Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của Δ là

\(\overrightarrow {{a_{\rm{\Delta }}}}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

 Phương trình tham số của Δ : 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - \frac{3}{2} + 2t}\\
{y =  - 2 - 3t}\\
{z = \frac{5}{2} + 4t}
\end{array}} \right.\)

 Δ cắt (P) tại \(H( - \frac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\frac{5}{2} + 4t)\). 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
H \in (\alpha ) \Leftrightarrow 2( - \frac{3}{2} + 2t)\\
 - 3( - 2 - 3t) + 4(\frac{5}{2} + 4t) - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{8}{{29}}
\end{array}\)

Suy ra tọa độ \(H( - \frac{3}{2} - \frac{{16}}{{29}}; - 2 + \frac{{24}}{{29}};\frac{5}{2} - \frac{{32}}{{29}})\) hay 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
r{'^2} = {r^2} - {d^2}(I,(P))\\
 = \frac{{26}}{4} - \frac{{64}}{{29}} = \frac{{249}}{{58}}
\end{array}\).

Suy ra \(r' = \sqrt {\frac{{249}}{{58}}} \).

-- Mod Toán 12 HỌC247