Hình học 11 Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các định nghĩa về quan hệ vuông góc trong không gian

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)

- Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)

- Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)

- Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 90⁰.

- Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).

- Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

1.2. Các định lý về quan hệ vuông góc trong không gian thường sử dụng

- \(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)

- \(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)

- \(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d'//d \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot (P)\)

- \(\left. \begin{array}{l} (P)//(Q)\\ d \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)

- \(\left. \begin{array}{l} d//(P)\\ d' \bot (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d' \bot d\)

- \(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)

- \(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)

- \(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)

1.3. Hệ thống hóa kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian

Hệ thống hóa kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian

Bài tập minh họa

Bài tập 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.

a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).

b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).

Hướng dẫn giải:

Hình chóp S.ABCD

a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)

b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).

\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).

Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).

AD//(SBC)\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)

Hạ AH vuông góc SB tại H. Suy ra \(AH \bot (SBC)\).

Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO//SC.

Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)

Hạ MN vuông góc với SK tại N. Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO.

Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).

Trong tam giác vuông MNO tại N có: \(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)

Hạ AP vuông góc với SK tại P. Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).

Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\)

Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).

Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)

Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)

3. Luyện tập Bài 6 chương 3 hình học 11

Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương III - Hình học 11 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:
- A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
- B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
- C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
- D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
- A. AC ⊂ (SAC) và AC ⊥ (SBD) do AC ⊥ SO và AC ⊥ BD
- B. AC ⊂ (ABCD) và AC ⊥ (SBD) do AC ⊥ SO và AC ⊥ BD
- C. AC ⊂ (SAC) và AC ⊥ SO ⊂ (SBD)
- D. AC ⊂ (ABCD) và AC ⊥ SO ⊂ (SBD) và góc AOS bằng 90⁰
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
- A. 0^o
- B. 45^o
- C. 60^o
- D. 90^o

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương III - Hình học 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 7 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 8 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 9 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 10 trang 120 SGK Hình học 11

Bài tập 1 trang 121 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 121 SGK Hình học 11