Hình học 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các phép tính vectơ

a) Quy tắc hình bình hành

- Nếu ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}.\)

Quy tắc hình bình hành

b) Quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ

- Cho ba điểm A, B, C bất kì thì \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\).

Quy tắc ba điểm

- Quy tắc ba điểm với phép trừ vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} ..\)

c) Quy tắc hình hộp

- Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ thì \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}\).

Hình hộp ABCD.A'B'C'D'

d. Quy tắc nhận vectơ với một số:

- Cho vectơ \(\vec a\) và một số thực \(k \ne 0\) ta được vectơ \(k \vec a\) có các tính chất sau:

+ \(\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|{\rm{ }}\).

+ Nếu k>0 thì \(\vec a\) cùng hướng với \(k \vec a\).

+ Nếu k<0 thì \(k \vec a\) ngược hướng với \(k \vec a\).

1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

a) Vectơ cùng phương

- Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a, \vec b\)cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k.\overrightarrow b.\)

b) Vectơ đồng phẳng

- Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho \(\vec a, \vec b\) là hai vectơ không cùng phương và vectơ \(\vec c\). Ba vectơ \(\vec a, \vec b\) và \(\vec c\) đồng phẳng khi và chỉ khi có hai số thực k, l sao cho: \(\overrightarrow c = k.\overrightarrow a + l.\overrightarrow b .\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các vecto bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Lăng trụ xiên

Theo tính chất hình lăng trụ ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} ;\,\,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} ;\,\,\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A'} \\ \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {CB} ;\,\,\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow {{\rm{AA'}}} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {{\rm{A'A}}} = - \overrightarrow {B'B} = - \overrightarrow {C'C} . \end{array}\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).

Hướng dẫn giải:

Hình chóp S.ABCD

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {SO} \\ \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CO} = \overrightarrow {SO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} (1) \end{array}\)

Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {{\rm{SB}}} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}\).

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD}\) và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow {NB} = - 3\overrightarrow {NC}\). Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Tứ diện ABCD

Theo giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {MD} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MD}\) và \(\overrightarrow {{\rm{NB}}} = - 3\overrightarrow {NC}\)

Mà: \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}\)

và \(\overrightarrow {{\rm{MN}}} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} (1)\)

\(\Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {MD} + 3\overrightarrow {DC} + 3\overrightarrow {CN} (2)\)

\(\begin{array}{l} (1) + (2) \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + 3\overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MA} + \frac{3}{4}\overrightarrow {MD} \end{array}\)

Hệ thức trên chứng tỏ: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN}\) đồng phẳng.

3. Luyện tập Bài 1 chương 3 hình học 11

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm Vectơ trong không gian, phương pháp chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian.

3.1 Trắc nghiệm về Vectơ trong không gian

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
- A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
- B. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \)
- C. \(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \)
- D. \(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \)
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {SA} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {SB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {SC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {SD} = \overrightarrow d \). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow c = \overrightarrow b + \overrightarrow d \)
- B. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c + \overrightarrow d \)
- C. \(\overrightarrow a + \overrightarrow d = \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
- D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \)
Câu 3:
Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa "G là trọng tâm tứ diện ABCD khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)". Khẳng định nào sau đây là sai?
- A. G là trung điểm của IJ với I là trung điểm của AB và J là trung điểm của CD
- B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD
- C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC
- D. Chưa thể xác định được.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Vectơ trong không gian

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 91 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 91 SGK Hình học 11

Bài tập 4 trang 91 SGK Hình học 11

Bài tập 5 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 6 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 7 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 8 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 9 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 10 trang 92 SGK Hình học 11

Bài tập 3.1 trang 129 SBT Hình học 11

Bài tập 3.2 trang 129 SBT Hình học 11