YOMEDIA
NONE

Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM = x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :

a. Hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 450

b. Hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Ta có: AM, AN cùng vuông góc với SA mà \(\widehat {MAN} \le {90^0}\) nên \(\widehat {MAN}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN). Hai mặt phẳng đó tạo với nhau góc 45˚ khi và chỉ khi \(\widehat {MAN} = {45^0}\)

Mặt khác, \(M \in BC,N \in CD,\widehat {BAD} = {90^ \circ }\) n

nên điều đó xảy ra khi \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = {45^0}\)

Từ đó ta có:

\(1 = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM}.\tan \widehat {DAN}}}\left( * \right)\)

(\(\tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}\))

Vì \(tan\widehat {BAM} = \frac{{a - x}}{a},tan\widehat {DAN} = \frac{{a - y}}{a}\) 

Nên (∗) \( \Leftrightarrow 2{a^2} + xy = 2a(x + y)\)

\( \Leftrightarrow 2a^2+xy = 2a(x+y)\)

Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 450

B) Ta có: (SAM) ⊥ (ABCD), từ đó nếu (SMN) ⊥ (SAM) thì giao tuyến MN của (SMN) và (ABCD) sẽ vuông góc với (SAM), tức MN ⊥ AM.

Ngược lại, nếu có MN ⊥ AM thì do SA ⊥ MN nên MN ⊥ (SAM), suy ra (SMN) ⊥ (SAM).

Vậy (SAM) ⊥ (SMN) khi và chỉ khi \(\widehat {AMN} = {90^0}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {(a - x)^2} + {x^2} + {y^2} = {a^2} + {(a - y)^2}\)

\( \Leftrightarrow ay = x(a - x)0\) với \(0 \le x \le a,0 \le y \le a\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF