YOMEDIA

Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11

Giải bài 7 tr 122 sách GK Toán Hình lớp 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^0\) và \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với SC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Câu a:

Vì hình thoi ABCD có góc \(BAD=60^0\)

\(\Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều.

Gọi H là tâm của \(\Delta ABD\)

Theo giả thiết \(SA=SB=SD\)

\(\Rightarrow SH\perp (ABD)\)

\(\Rightarrow SH=d(S,(ABCD))\)

Trong tam giác đều ABD cạnh a có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Trong tam giác vuông SHA có: \(SH^2=SA^2-AH^2\)

\(\Rightarrow SH^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}= \frac{5a^2}{12} \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD \(\Rightarrow OC=OA=\frac{3}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Và \(OH=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow HC=HO+OC\)

\(=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Trong tam giác vuông HSC có:

\(SC^2=SH^2+HC^2=\frac{15a^2}{36}+\frac{12a^2}{9}=\frac{7a^2}{4}\)

Vậy \(SC=\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)

Câu b:

Theo chứng minh ở câu a) \(SH\perp (ABCD)\) mà \(SH\subset (SAC)\)

Vậy \((SAC)\perp (ABCD)\) (đpcm)

Câu c:

Trong tam giác SBC có: \(SB^2=\frac{3a^2}{4}; BC^2=a^2; SC^2=\frac{7a^2}{4}\)

\(\Rightarrow SC^2=SB^2+BC^2\Rightarrow\) tam giác SBC vuông tại B hay \(SB\perp BC\) (đpcm)

Câu d:

Vì ABCD là hình thoi \(\Rightarrow AC\perp BD \ (1)\)

Mặt khác \(\Delta SBD\) cân đỉnh S có O là trung điểm \(BD \Rightarrow SO \perp BD \ (2)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD \perp (SAO)\)

BD là giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD)

Suy ra \(\varphi =SOA=SOH\)

Trong tam giác vuông SOH ta có: \(tan\varphi =\frac{SH}{OH}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}= \sqrt{5}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11 HAY thì click chia sẻ 

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

 

YOMEDIA