Toán 11 Bài 3 :Cấp số cộng

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Cấp số cộng là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số cộng và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

1.2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Bài tập minh họa

Vấn đề 1: Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

 

Ví dụ 1: 

Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

a) Xác định công sai.

b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).

Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)

 

Ví dụ 2: 

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} =  - 21\\3{u_7} - 2{u_4} =  - 34\end{array} \right.\).

a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).

Hướng dẫn:

Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) =  - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) =  - 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  - 7\\{u_1} + 12d =  - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  - 3\end{array} \right.\).

a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d =  - 295\)

b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] =  - 285\)

c) \(S = {S_{30}} - {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) =  - 1242\).

 

Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

\( \bullet \) Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC

Hướng dẫn:

Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).

Ta có:

\(\sqrt 3  = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 4: 

Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)

Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.

 

Ví dụ 5:

Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).

Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.

3. Luyện tập Bài 3 chương 3 giải tích 11

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào? 

3.1 Trắc nghiệm về cấp số cộng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về cấp số cộng

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn