Đại số và Giải tích 11 Chương 4 Bài 1 Giới hạn của dãy số


Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tíchGiới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Định nghĩa

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c\)

Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\).

2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:

\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)                                                                             \( \bullet \)\(\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\)

\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)                      \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \)

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng vô hạn của CSN và

\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

4. Giới hạn vô cực

a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty  \Leftrightarrow \) với mỗi số dương  tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn  số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} =  + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} =  + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

        \(\lim {u_n}\)

      \(\lim {v_n}\)

    \(\lim ({u_n}{v_n})\)

        \( + \infty \)

        \( + \infty \)

        \( - \infty \)

        \( - \infty \)

        \( + \infty \)

        \( - \infty \)

        \( + \infty \)

        \( - \infty \)

      \( + \infty \)

      \( - \infty \)

      \( - \infty \)

     \( + \infty \)

 
Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
 

        \(\lim {u_n}\)

  Dấu của \(l\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \)

\( - \)

\( + \)

\( - \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

 
Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = l\),\(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào dó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được coi như sau:
 

Dấu của \(l\)

Dấu của \({v_n}\)

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \)

\( - \)

\( + \)

\( - \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

 

Bài tập minh họa

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

 

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).

 

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  - n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có  \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3\)

 

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)

            \( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

           \( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 5:

Tìm  giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k - 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}...\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiện đến các em khái niệm Giới hạn của dãy số và cách tính. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Được đề xuất cho bạn