Bài tập 7 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
a. Tứ diện ABCD là gần đều ;
b. Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau ;
c. Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau ;
d. Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 1800
Hướng dẫn giải chi tiết
* Chứng minh a ⇔ b
Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a) ⇒ b)
Do AC = BD nên MNPQ là hình thoi, vì thế MN ⊥ PQ. Tương tự ta có MN ⊥ EF, PQ ⊥ EF.
b) ⇒ a)
MPNQ là hình bình hành mà MN ⊥ PQ nên MPNQ là hình thoi, tức là MP = MQ, từ đó AC = BD.
Tương tự như trên, ta cũng có BC = AD, AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ c
Gọi A’, B’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.
a) ⇒ c)
Ta có ΔBCD = ΔADC (c.c.c) nên BN = AN, từ đó A’N = B’N.
Vậy ΔAA’N = ΔBB’N (c.g.c), suy ra AA’ = BB’.
Tương tự như trên, ta có điều phải chứng minh.
c) ⇒ a)
Do giả thiết ta có BB’ = AA’, mà AA’ cắt BB’ tại G, AG = 3GA’, BG = 3GB’ (xem BT 22, chương II, SGK), từ đó BG = AG và GA’ = GB’. Các tam giác BGA’ và AGB’ bằng nhau nên BA’ = AB’.
Như vậy BN = AN, mà :
\(\begin{array}{l}
A{C^2} + A{D^2} = 2A{N^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}\\
B{C^2} + B{D^2} = 2B{N^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}
\end{array}\)
Do đó:
\(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta có: \
(C{A^2} + C{B^2} = D{A^2} + D{B^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = BC và AC = BD.
Tương tự như trên ta cũng có AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ d
a) ⇒ d)
Do sự bằng nhau của các tam giác ABC, CDA, BAD với tam giác DCB nên tổng các góc tại B bằng 180˚
Đối với các đỉnh còn lại cũng được lí luận tương tự như trên
d) ⇒ a)
Trải các mặt ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng (BCD).
Do tổng các góc tại B cũng như tại C, tại D đều bằng 1800 nên các bộ ba điểm A1, C, A2; A2, D, A3; A3, B, A1 là những bộ ba điểm thẳng hàng.
Như vậy, BC, CD, BD là ba đường trung bình của tam giác A1A2A3.
Từ đó BD = A1C = CA2 = CA. Tương tự ta cũng có AD = BC, CD = AB.
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
Trong hệ trục Oxy ,cho hai đường thẳng a : x-y-4=0 và b: 2x-y-2=0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng b sao cho ON cắt đường thẳng a tại điểm M thỏa mãn OM.ON=8
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính cosin góc giữa (SAB) và mp (alpha) biết đáy ABCD là hình thoi tâm O với OA=2OB=2a
bởi Hoàng Châu Giang 04/08/2018
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với OA=2OB=2a và SO vuông góc với đáy (ABCD). Mặt phẳng (@) đi qua A vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC , SD tại B',C;.D'. Tính coossin góc giữa (SAB) và (@)
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SHC) biết hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
bởi Thu Huyền 30/06/2018
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM=2HB. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SHC)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính khoảng cách từ E đến (SBD) biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
bởi Thu Huyền 30/06/2018
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA=a căn 3. gọi I là hình chiếu của A lên SC. Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB,SD cắt BC,CD tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là giao điểm của PQ với AB,AD. Tính khoảng cách từ E đến (SBD)
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 1 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 11 NC