Hình học 10 Ôn tập chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng


Cùng nhau ôn tập lại chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng giúp các em có cái nhìn tổng quát về tích vô hướng của hai vectơ, công thức tính diện tích tam giác mở rộnghệ thức lượng trong tam giác thường. Từ đó ta vận dụng kiến thức đã học để áp dụng cho chương trình toán các lớp trên...

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nắm

1.1. Giá trị lượng giác của một góc

Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)

Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).

Tỉ số  \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)

Tỉ số  \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)

1.2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:

\(\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'\)

\(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)

\(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0\)

1.3. Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:

\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)

Từ đó, ta có hệ quả sau: 

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

1.4. Định lí sin

\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)

\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)

1.5. Công thức trung tuyến của tam giác

\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

Và tương tự vậy...

1.6. Công thức tính diện tích tam giác mở rộng

\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)

\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)

\(S=\frac{abc}{4R}\)

\(S=pr\)

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

Bài tập minh họa

Bài tập trọng tâm

 

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oij, cho A(2;3), B(4;1). Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.

Hướng dẫn:

hệ trục oij

Bằng định lí Pytago, ta dễ dàng tính được \(OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

\(OB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)

\(AB=2\sqrt{2}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là:

\(P=AB+AC+BC=\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}\approx 10,56\)

Khi có 3 cạnh của tam giác ABC, ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích tam giác bằng Hê rông.

Cụ thể là: Gọi p là nửa chu vi của tam giác

\(p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}}{2}\)

Khi đó, diện tích tam giác bằng:

\(S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=5\)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho đúng thứ tự C, D, E, B và chia góc A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ADE.

Hướng dẫn:

vuông cân

Ta có hình vẽ sau:

Dễ thấy rằng \(\widehat{BAC}\) được chia thành ba góc bằng nhau nên \(\widehat{DAE}=\frac{90^o}{3}=30^o\)

Xét hai tam giác CAD và BAE có:

\(\left\{\begin{matrix} AB=AC=a\\ \widehat{CAD}=\widehat{EAB}=30^o\\ \widehat{ACD}=\widehat{ABE}=45^o \end{matrix}\right.\)

Vậy, \(\Delta CAD=\Delta BAE(g.c.g)\)

\(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Rightarrow \Delta ADE\) cân tại A.

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-30^o}{2}=75^o\)

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ lớn các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 13, 16 và G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính độ lớn của đoạn AG.

Hướng dẫn:

trung tuyến, trọng tâm

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến từ đỉnh A trong tam giác ABC, ta có:

\(AD=\sqrt{\frac{13^2+16^2}{2}-\frac{10^2}{4}}=\frac{5\sqrt{30}}{2}\)

Mặc khác, theo tính chất trọng tâm, ta có:

\(AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{5\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt{30}}{3}\)

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và diện tích S. Nếu tăng a lên 2 lần, tăng b lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích mới sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó, hãy chia tỷ lệ tam giác mới bằng đúng bấy nhiêu lần diện tích tam giác cũ, nêu rõ cách chia.

Hướng dẫn:

Ta có, diện tích S của tam giác ABC được tính bởi công thức:

\(S=\frac{1}{2}absinC\)

Mà giá trị của góc C không thay đổi

Nên khi a tăng 2 lần, b tăng 3 lần, ta nhận được tam giác mới có diện tích bằng 6 lần diện tích của tam giác ban đầu.

chia nhỏ tam giác

Gọi tam giác được tăng lên theo kích thước mới là tam giác EFC.

Theo đề, ta có: BF=BC

AC=AD=DE

Cách chia như sau:

Nối A với F ta có được \(dt_{ABF}=S\)

Nối F với D, ta dễ thấy rằng \(dt_{EDF}=dt_{ADF}=2S\)

Gọi G là trung điểm của DF

\(\Rightarrow dt_{EGF}=dt_{EDG}=dt_{AGF}=dt_{ADG}=S\)

Vậy ta có 6 tam giác có diện tích bằng nhau là các tam giác nhỏ như trên hình.

3. Luyện tập Bài 4 chương 2 hình học 10

Ở lớp dưới, chúng ta đã biết các giá trị của sin, côsin, tan hay côtan của một góc nhọn x nào đó, vậy lên chương trình cấp THPT, có thể bao gồm góc tù hay bất kì một góc nào đó cho trước độ lớn hay không? Chúng ta cùng đi vào bài đầu tiên của chương 2 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ.

3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Ôn tập chương II để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 19 trang 65 SGK Hình học 10

Bài tập 20 trang 65 SGK Hình học 10

Bài tập 21 trang 65 SGK Hình học 10

Bài tập 22 trang 65 SGK Hình học 10

Bài tập 23 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 24 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 25 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 26 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 27 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 28 trang 66 SGK Hình học 10

Bài tập 29 trang 67 SGK Hình học 10

Bài tập 30 trang 67 SGK Hình học 10

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 2 hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

  • 1) Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-2;-6); B(4;-4); C(2;-2)

    a) Tìm tọa độ các vecto AB, AC,BC. Chứng minh rằng A,B,C không thẳng hàng

    b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ADBC là hình bình hành

    2) Cho cos a = -2/3,(90o < a < 180o).Tìm các giá trị lượng giác còn lại

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Trong mặt phẳng cho A(-2;-1),B(1;1) C(2;-7)

    a.tam giắc ABC là tấm giác gì? Tính điện tích tam giác ABC

    b. Gọi H là chân đường cao kẻ Từ a của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm H

    c. Tìm tòa độ Điểm D sao cho ABCD là hình thang có AB//CD và hai đường chéo AD,BCH uống gốc nhau

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • cho tam giác abc có ab=6cm ac=4cm bc=3cm . Tính các góc A B C

    GIÚP EM VỚI Ạ THANKS !!!

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Được đề xuất cho bạn