Hỏi đáp về Chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Cho ba điểm A(-1,2) B(-4,-1), C(2,-1)

a) Chứng minh ABC không thẳng hàng

b) Tam giác ABC vuông. Tìm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

trong mặt phẳng Oxy cho A ( 4 , 1 ) , B ( 1 , 2 ) , C ( 2 , 5 ) . Tìm M trên đường thẳng y = 3 sao cho B , C , M thẳng hàng . 

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đê - các vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC; \(\widehat{BAC}=90^0\); biết M (1;-1) là trung điểm cạnh BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Cho 3 điểm A(3;5) B(-5;1) C(0;-4) .tính góc BAC.

Viết tọa độ của các vectơ sau :

a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\)

b) \(\overrightarrow{b}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}\)

c) \(\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}\)

d) \(\overrightarrow{d}=-2\overrightarrow{j}\)

Cho \(\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right);\overrightarrow{b}=\left(0;3\right)\)

Tìm tọa độ của các vectơ : \(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};\overrightarrow{z}=3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\) ?

Xem xét các cặp vectơ sau có cùng phương không ? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng ?

a) \(\overrightarrow{a}=\left(2;3\right);\overrightarrow{b}=\left(-10;-15\right)\)

b) \(\overrightarrow{u}=\left(0;7\right);\overrightarrow{v}=\left(0;8\right)\)

c) \(\overrightarrow{m}=\left(-2;1\right);\overrightarrow{n}=\left(-6;3\right)\)

d) \(\overrightarrow{c}=\left(3;4\right);\overrightarrow{d}=\left(6;9\right)\)

e) \(\overrightarrow{e}=\left(0;5\right);\overrightarrow{f}=\left(3;0\right)\)

a) Cho \(A\left(-1;8\right);B\left(1;6\right);C\left(3;4\right)\). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ?

b) Cho \(A\left(1;1\right);B\left(3;2\right)\) và \(C\left(m+4;2m+1\right)\). Tìm m để 3 điểm A. B. C thẳng hàng ?

Cho tam giác ABC có \(A\left(-5;6\right):B\left(-4;-1\right);C\left(4;3\right)\). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành ?

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ \(\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\), trong đó O là trung điểm của cạnh BC, \(\overrightarrow{i}\)cùng hướng với \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{j}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{OA}\) :

a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cho tam giác ABC có \(A\left(-3;6\right);B\left(9;-10\right);C\left(-5;4\right)\). 

a) Tìm tọa dộ của trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác BGCD là hình bình hành

Cho lục giác đều ABCDEF. Chọ hệ tọa độ \(\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\), trong đó O là tâm của lục giác đều, hai vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{OD}\) cùng hướng, \(\overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{EC}\) cùng hướng. Tính tọa độ các đỉnh của lục giác biết độ dài cạnh của lục giác là 6 ?

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây :

\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)

\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)

\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2\)

Tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AB = a. Tính

a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

b) \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\)

c) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\)

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm

a) Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) rồi suy ra giá trị của góc A ?

b) Tính \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\) ?

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC. D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD ?

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có \(\left|\overrightarrow{a}\right|=5;\left|\overrightarrow{b}\right|=12\) và \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\) và suy ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2\) ?

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\) ?

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A\left(-1;1\right);B\left(1;3\right);C\left(1;-1\right)\). Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A ?

Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm \(A\left(-1;1\right);B\left(0;2\right);C\left(3;1\right);D\left(0;-2\right)\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân ?

Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm \(A\left(-1;-1\right);B\left(3;1\right);C\left(6;0\right)\) ?

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính góc B của tam giác ABC 

Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm \(A\left(3;4\right);B\left(4;1\right);C\left(2;-3\right);D\left(-1;6\right)\)

Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn ?

Cho A(-3;2) B(2;5) C(0;-3)

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A . Từ đó tính diện tích tam giác ABC

b) Tìm D thuộc truc Ox sao cho A,B,D thẳng hàng

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm \(A\left(5;5\right);B\left(3;-2\right)\). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\)