Hình học 10 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được mô tả như hình sau:

gocgiuahaivecto

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\).

1.2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức

\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ \(\vec a\) tùy ý, tích vô hướng \(\vec a.\vec a\) được kí hiệu là \(|\vec a|^2\) được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: \(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

1.3. Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí

Với ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) tùy ý và một số thực k, ta có:

\(\vec a.\vec b=\vec b.\vec a\) (tính chất giao hoán)

\(\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b\)

\((k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)\) 

\(\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c\) (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

phuongtich

Ta dễ dàng chứng minh được \(MT^2=MA.MB\) thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: \(MT^2=OM^2-OT^2\)

Theo ý trên: \(MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB}\) (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: \(\vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2\)

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

1.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:

  • \(\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'\)
  • \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
  • \(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)
  • \(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0\)

Bài tập minh họa

Bài 1: 

Tính tích vô hướng của \(\vec{a}(2;3)\) và \(\vec{b}(1;1)\) biết chúng tạo với nhau một góc \(30^o\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: \(\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30\)

\(=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}\)

 

Bài 2: 

Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: \(\vec{AD}.\vec{AB}\), \(\vec{AD}.\vec{BD}\) và \(\vec{AB}.\vec{CD}\)

Hướng dẫn: 

Vì \(AD\perp AB\) nên \(\vec{AD}.\vec{AB}=0\)

\(\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2\)

\(\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2\)

 

Bài 3:

Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\) biết \(sin\alpha=\frac{1}{4}\)

Hướng dẫn: 

Ta có: \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\)\(=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)\(=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}\)

\(=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}\)

\(=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1\)

 

Bài 4: 

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)

Hướng dẫn: 

Ta có:

\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)

\(=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)\)

\(=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)

\(=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)

\(=-1\)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x

3. Luyện tập Bài 2 chương 2 hình học 10

Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?

3.1 Trắc nghiệm về Tích vô hướng của hai vectơ

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 2 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Tích vô hướng của hai vectơ

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 5 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 10

Bài tập 7 trang 46 SGK Hình học 10

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 2 hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn