Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 Giới hạn của dãy số

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số \((u_n)\).

b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6} g\).

Biết dãy số \((u_n )\) thỏa mãn  \(|u_n -1| <\frac{1}{n^{3}}\) với mọi n. Chứng minh rằng lim \(u_n =1\).

Tìm giới hạn sau:

a)  \(lim\frac{6n - 1}{3n +2}\);

b) \(lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\);

c)  \(lim\frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\);

d)  \(lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\).

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1, 2, 3, ..., n trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi u_n là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính \(u_1 , u_2 , u_3\) và \(u_n\).

b) Tính lim\(S_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n\) .

Tính tổng  \(S = -1 + \frac{1}{10}-\frac{1}{10^{2}}+...+ \frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}}\) + ...

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Tính các giới hạn sau:

a) \(lim (n^3 + 2n^2 - n + 1)\);

b) \(lim (-n^2 + 5n - 2)\);

c) \(lim(\sqrt{n^{2}-n}-n)\) ;

d) (\(lim(\sqrt{n^{2}-n}+n)\).

Cho hai dãy số \((u_n)\)và \((v_n)\). Biết \(lim u_n = 3, lim v_n = +\infty .\)

Tính các giới hạn:

a)  \(lim\frac{3u_{n}-1}{u_{n}+ 1};\)

b)  \(lim\frac{v_{n}+ 2}{v^{2}_{n}-1}\).

Biết rằng dãy số (u_n) có giới hạn 0. Giải thích vì sao dãy số (v_n) với v_n = |u_n| cũng có giới hạn 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_n+v_n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

a) Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết \(\lim {u_n} =  - \infty \) và v_n ≤ u_n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v_n) khi \(n \to  + \infty \)?

b) Tìm v_n với v_n = - n!

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to \infty \).

a) \({a_n} = \frac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\)

b) \({b_n} = \frac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\)

c) \({c_n} = \frac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\)

d) \({u_n} = {2^n} + \frac{1}{n}\)

e) \({v_n} = {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} + \frac{{{3^n}}}{{{4^n}}}\)

f) \({u_n} = \frac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\)

g) \({v_n} = \frac{{\sqrt {{n^2} + n - 1}  - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\)

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(|{u_n}| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)

Biết \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{3}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n) ?

Cho biết dãy số (u_n) xác định bởi công thức truy hồi

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

 Chứng minh (u_n) có giới hạn hữu hạn khi \(n \to  + \infty \). Tìm giới hạn đó.

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};...;{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}};...\)

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội \(q = \frac{2}{3}\).

Cho dãy số (b_n) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \). Tìm giới hạn của (b_n).

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 34,121212 \ldots \) (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giới hạn của dãy số (u_n) với \({u_n} = {( - 1)^n}\) là:

A. 0

B. 1

C. - 1

D. Không tồn tại

\(\lim \frac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\) bằng:

A. \(\frac{3}{4}\)

B. 0

C. \(\frac{9}{4}\)

D. \(-\frac{9}{4}\)

Nếu \(S = 1 + 0,9 + {(0,9)^2} + {(0,9)^3} + ... + {(0,9)^n} + ...\) thì:

A. S = 10

B. S = 2

C. S = +∞

D. Không thể tính được

\(\lim \frac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\) bằng

A. 0

B. \( + \infty \)

C. \(- \infty \)

D. \( - \frac{4}{3}\]

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

a) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}\)

b) \(\frac{{\sin n}}{{n + 5}}\)

c) \(\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n  + 1}}\)

Chứng minh rằng hai dãy số (u_n) và (v_n) với

\({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,{v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}\)

Có giới hạn 0.

Chứng minh rằng các dãy số (u_n) sau đây có giới hạn 0:

a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)

b) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n} + 1}}\)

c) \({u_n} =  - \frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

a. Chứng minh rằng \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le \frac{2}{3}\) với mọi n.

b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) với mọi n.

c. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {2 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right)\)

b) \(\lim \left( {\frac{{\sin 3n}}{{4n}} - 1} \right)\)

c) \(\lim \frac{{n - 1}}{n}\)

d) \(\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\)

Tìm \(\lim u_n\) với:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} - 3n + 5}}{{2{n^2} - 1}}\)

b) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^2} + n + 2}}{{3{n^4} + 5}}\)

c) \({u_n} = \frac{{\sqrt {2{n^2} - n} }}{{1 - 3{n^2}}}\)

d) \({u_n} = \frac{{{4^n}}}{{{{2.3}^n} + {4^n}}}\)

Cho dãy số (un) xác định bởi

u₁ = 10 và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) với mọi n ≥ 1

a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - \frac{{15}}{4}\) là một cấp số nhân.

b. Tìm \(\lim u_n\).

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, ..., p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác.

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b. Tìm các tổng p₁+p₂+...+p_n+... và S₁+S₂+...+S_n+...

Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 0,444...

b) 0,2121...

c) 0,32111...

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\), C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\),... C­_n là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{2n}}\),... (h. 4.2). Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C­_n và đoạn thẳng AB.

a. Tính p_n và S_n.

b. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S­_n).

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} =  - 2{n^3} + 3n + 5\)

b) \({u_n} = \sqrt {3{n^4} + 5{n^3} - 7n} \)

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^3} + 3n - 2}}{{3n - 2}}\)

b) \({u_n} = \frac{{\sqrt[3]{{{n^5} - 7{n^3} - 5n + 8}}}}{{n + 12}}\)

Tìm các giới hạn sau:

a. \(lim (2n+\cos n)\)

b. \(\lim \left( {\frac{1}{2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right)\)

Chứng minh rằng nếu q > 1 thì \(\lim {q^n} =  + \infty \).

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^n} - 1}}\)

b) \({u_n} = {2^n} - {3^n}\)

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{{n^2} + 4n - 5}}{{3{n^3} + {n^2} - 7}}\)

b) \(\lim \frac{{{n^5} + {n^4} - 3n - 2}}{{4{n^3} + 6{n^2} + 9}}\)

c) \(\lim \frac{{\sqrt {2{n^4} + 3n - 2} }}{{2{n^2} - n + 3}}\)

d) \(\lim \frac{{{3^n} - {{2.5}^n}}}{{7 + {{3.5}^n}}}\)

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right)\)

b) \(\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \)

c) \(\lim \sqrt[3]{{1 + 2n - {n^3}}}\)

d) \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \)

Tìm các giới hạn sau:

a)  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1}  - n} \right)\)

Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức đã cho với \({\sqrt {{n^2} + n + 1}  + n}\)

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}\)

Hướng dẫn: Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với \({\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }\)

c) \(\lim {\rm{ }}\left( {\sqrt {{n^2} + n + 2}  - \sqrt {n + 1} } \right)\)

d) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {3n + 2}  - \sqrt {2n + 1} }}\)

e) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)n\)

f) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt {n + 1} }}{{3n + 2}}\)

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \(\frac{5}{3}\), tổng ba số hạng đầu tiên của nó là \(\frac{{39}}{{25}}\). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Bông tuyết Vôn Kốc

Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₁. Chia mỗi cạnh H₁ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H₁ rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₂. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (h. 4.6).

a. Gọi p₁, p₂, … , p_n, … là độ dài của H₁, H₂, … , H_n, … . Chứng minh rằng (p_n) là một cấp số nhân. Tìm \(\lim p_n\).

b. Gọi S_n là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc H_n. Tính S_n và tìm giới hạn của dãy số (S_n).

Hướng dẫn: Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ. Tìm độ dài mỗi cạnh của H_n, từ đó tính p_n. Để tính S_n cần chú ý rằng muốn có H_n+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của H_n.