Bài tập 8 trang 135 SGK Toán 11 NC

a) Ta có \({p_1} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2};\)

\({p_2} = \frac{{3a}}{4} = \frac{{3a}}{{{2^2}}};...;{p_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}\)

(chứng minh bằng qui nạp)

Vì \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {p_n} = 0\).

Ta có:

Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Diện tích tam giác A₁B₁C₁ là \({S_1} = \frac{S}{4}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác AnBnCn là \({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\)

Vì \(\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {S_n} = 0\).

b) Ta có (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = \frac{1}{2}\), do đó:

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = \frac{{{p_1}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{p_1} = 3a\)

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = \frac{1}{4}\) do đó:

\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3}{S_1} = \frac{S}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247