ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC

Bông tuyết Vôn Kốc

Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H1. Chia mỗi cạnh H1 thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H1 rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H2. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (h. 4.6).

a. Gọi p1, p2, … , pn, … là độ dài của H1, H2, … , Hn, … . Chứng minh rằng (pn) là một cấp số nhân. Tìm \(\lim p_n\).

b. Gọi Sn là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc Hn. Tính Sn và tìm giới hạn của dãy số (Sn).

Hướng dẫn: Số cạnh của Hn là 3.4n. Tìm độ dài mỗi cạnh của Hn, từ đó tính pn. Để tính Sn cần chú ý rằng muốn có Hn+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của Hn.

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

Số cạnh của Hn là 3.4n.

Độ dài mỗi cạnh của Hn là \(\frac{a}{{{3^n}}}\)

Do đó độ dài của H­­n là \({p_n} = {3.4^n}.\frac{a}{{{3^n}}} = 3a{\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)

Vậy dãy số (pn) là một cấp số nhân và \(\lim {p_n} =  + \infty \)

Diện tích tam giác ABC cạnh a là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l}
{S_1} - S = 3.\left( {\frac{S}{9}} \right) = \frac{S}{3}\\
{S_2} - {S_1} = 4.3.\left( {\frac{S}{{{9^2}}}} \right) = \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right)\\
{S_3} - {S_2} = {4^2}.3.\left( {\frac{S}{{{9^3}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}
\end{array}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta được :

\({S_n} = {S_{n - 1}} = {4^{n - 1}}.3.\left( {\frac{S}{{{9^n}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n - 1}}\)

Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được:

\(\begin{array}{l}
{S_n} - S = \frac{S}{3} + \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right) + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\\
 + ... + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)
\end{array}\)

Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \(\frac{S}{3}\)và công bội là \({\frac{4}{9}}\). Tổng của cấp số nhân này là:

\(\left( {\frac{S}{3}} \right).\frac{1}{{1 - \frac{4}{9}}} = \frac{{3S}}{5}\)

Do đó \(\lim \left( {{S_n} - S} \right) = \frac{{3S}}{5}\)

Suy ra \(\lim {S_n} = \frac{{3S}}{5} + S = \frac{{8S}}{5} = \frac{8}{5}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{a^2}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

 

YOMEDIA
1=>1