Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC

Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ.

Độ dài mỗi cạnh của H_n là \(\frac{a}{{{3^n}}}\)

Do đó độ dài của H­­_n là \({p_n} = {3.4^n}.\frac{a}{{{3^n}}} = 3a{\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)

Vậy dãy số (p_n) là một cấp số nhân và \(\lim {p_n} =  + \infty \)

Diện tích tam giác ABC cạnh a là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l}
{S_1} - S = 3.\left( {\frac{S}{9}} \right) = \frac{S}{3}\\
{S_2} - {S_1} = 4.3.\left( {\frac{S}{{{9^2}}}} \right) = \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right)\\
{S_3} - {S_2} = {4^2}.3.\left( {\frac{S}{{{9^3}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}
\end{array}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta được :

\({S_n} = {S_{n - 1}} = {4^{n - 1}}.3.\left( {\frac{S}{{{9^n}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n - 1}}\)

Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được:

\(\begin{array}{l}
{S_n} - S = \frac{S}{3} + \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right) + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\\
 + ... + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)
\end{array}\)

Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \(\frac{S}{3}\)và công bội là \({\frac{4}{9}}\). Tổng của cấp số nhân này là:

\(\left( {\frac{S}{3}} \right).\frac{1}{{1 - \frac{4}{9}}} = \frac{{3S}}{5}\)

Do đó \(\lim \left( {{S_n} - S} \right) = \frac{{3S}}{5}\)

Suy ra \(\lim {S_n} = \frac{{3S}}{5} + S = \frac{{8S}}{5} = \frac{8}{5}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{a^2}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247