Bài tập 3 trang 90 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Để xét vị trí tương đối của \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) ta thực hiện các bước sau:

• Kiểm tra có tồn tại số thực \(k\ne0\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}\) hay không:
  • \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
  • \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\)​
• Nếu không tồn tại \(k\ne 0\) để \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}\) ta suy ra \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lập hệ phương trình tìm giao điểm của \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\), nếu hệ có một nghiệm suy ra, hai đường thẳng cắt nhau; nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.

Cách làm sẽ giúp các em tiết kiệm thời gian, bản chất hoàn toàn tương tự với nội dung đã được trình bày trong SGK:

"Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:

• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).
• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\)."

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 3 như sau:

Câu a:

Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow u = (2;3;4)\).

Đường thẳng d' có VTCP \(\overrightarrow u ' = (1; - 4;1)\).

Ta thấy \(\overrightarrow u \ne k\overrightarrow u ',\forall k \ne 0.\)

Vậy d và d' cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

Từ (1) và (2), ta suy ra \(\left\{\begin{matrix} 2t-t'=8\\ 3t+4t'=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=3\\ t'=-2 \end{matrix}\right.\)

Các giá trị này của t và t' thoả mãn phương trình (3).

Vậy hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại M(3;7;18).

Câu b:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1 ; 2 ; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec{a}=(1;1;-1)\) đường thẳng d' đi qua điểm M'(1;-1;2) và có vecto chỉ phương là \(\vec{a}=(2;2;-2)\).

Ta có: \(\vec{a}=2\vec{a}\) và \(M \notin d'\).

Suy ra d' // d.

-- Mod Toán 12 HỌC247