Bài tập 29 trang 103 SGK Hình học 12 NC

Lấy điểm M(1+2t, t, 3−1) nằm trên d và điểm M′(t′,−1−2t′,2+t′) nằm trên d’.
Rõ ràng A ∉ d và A ∉ d′.

Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\)

\(\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} } \right]\\
 = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + t}&{2 - t}\\
{ - 2t'}&{1 + t'}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - t}&{2t}\\
{1 + t'}&{ - 1 + t'}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2t}&{1 + t}\\
{ - 1 + t'}&{ - 2t'}
\end{array}} \right|} \right)
\end{array}\\
{ = (1 + t + 5t\prime  - tt\prime ; - 2 - t + 2t\prime  - 3tt\prime ;1 + t - t\prime  - 5tt\prime )}
\end{array}\)

Hai vecto \({\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} }\) cùng phương khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay 

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + t + 5t\prime  - tt\prime  = 0\\
 - 2 - t + 2t\prime  - 3tt\prime  = 0\\
1 + t - t\prime  - 5tt\prime  = 0
\end{array} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
5 + 4t + 13t\prime  = 0\\
4 + 4t + 26t\prime  = 0
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow t =  - \frac{3}{2};t' = \frac{1}{{13}}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - \frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và M, Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = ( - 6; - 1;7)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 6t\\
y =  - 1 - t\\
z = 1 + 7t
\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247