Hỏi đáp về Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học 12

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng  \(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\)  \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\). Chứng minh rằng với mọi \(m\in [-1;1]\) ,\(({\alpha _m})\) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng  \(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\)  \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\). Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng \(({\alpha _m}).\)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Tìm tập hợp các giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp (Oxy) khi m thay đổi.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.

Cho đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (0;1;0)\) và đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (1;0;0).\) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d₁, d₂.

Viết phương trình đường vuông góc chung của cặp đường thẳng sau: \(\eqalign{  & \;\;d:{{x - 2} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z + 4} \over { - 5}},\cr&\;\;\;\;\;d':{{x + 1} \over 3} = {{y - 4} \over { - 2}} = {{z - 4} \over { - 1}}\cr} \)

Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):y + z - 4 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):2x - y - z + 2 = 0.\)

Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( - 3;1; - 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):4x - 3y - 13 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):y - 2z + 5 = 0.\)

Hãy tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng :  \(d:\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 - t \hfill \cr  z = 2t. \hfill \cr}  \right.\) 

Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4). Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC.

Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và \(mp\left( \alpha  \right):x + y + z + 3 = 0.\) Xác định điểm M trên \(\left( \alpha  \right)\) để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm tọa độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mặt phẳng  \(6x + 3y + 2z - 6 = 0.\)

Tìm tọa độ điểm đối xứng của M₀(2;-3;1) qua mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y - z + 2 = 0.\)

Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Xác định tọa độ hình chiếu của D trêm mặt phẳng (ABC).

Tìm tọa độ hình chiếu ( vuông góc ) của điểm \({M_0}(1; - 1;2)\) trên mặt phẳng  \(\left( \alpha  \right):2x - y + 2z + 12 = 0.\)

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), biết \(\eqalign{\Delta :\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + 3t \hfill \cr  z = 2 - t, \hfill \cr}  \right.\left( \alpha  \right):2x - y + 2z - 1 = 0\cr} \). 

Tính góc giữa đường thẳng \({{x + 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 2} \over 1}\) và mỗi trục tọa độ.

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

\({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + 3y - 4 = 0\) và \( \left( {\alpha '} \right):y + z - 4 = 0; \)

\( {d_2}:\left\{ \matrix{  x = 1 + 3t \hfill \cr  y = 2 + t \hfill \cr  z =  - 1 + 2t \hfill \cr}  \right. \)

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: \(\eqalign{\;{d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 3},\cr\;{d_2}:\left\{ \matrix{  x = 2 - t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = t \hfill \cr}  \right.; \cr} \)

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: \(\eqalign{\;{d_1}:{{x - 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z - 4} \over -2},\cr{d_2}:{{x + 2} \over { - 4}} = {{y - 1} \over { - 2}} = {{z + 1} \over 4}} \)

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: \(\eqalign{\;{d_1}:\left\{ \matrix{  x = 1 + t \hfill \cr  y =  - 1 - t \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr}  \right.,{d_2}:\left\{ \matrix{  x = 2 - 3{t'} \hfill \cr  y =  - 2 + 3{t'} \hfill \cr  z = 3{t'}. \hfill \cr}  \right. \cr} \)