ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;\)

\({d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Đường thẳng d1 đi qua M1(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1;2; - 1)\)

Đường thẳng d2 đi qua M2(3; 1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} ( - 7;2;3)\)

Ta có: 

\(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = (5;4;7);[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ] = (8;4;16)\)

Do đó 

\([\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\)

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

b) Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với cả d1 và d2

Mp(α) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\)

Vậy

\(\begin{array}{l}
\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0
\end{array}\)

Rõ ràng M1, M2 ∉ (α). Vậy (α) chính là mặt phẳng cần tìm.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:

\(\begin{array}{l}
d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\\
 = \frac{{168}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} 
\end{array}\)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của dvà d2 với P ∈ d1; Q ∈ d2.

Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: P(8 + t; 5 + 2t; 8 − t), Q(3 − 7t′;1 + 2t′; 1 + 3t′)

Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\)

\(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0}\\
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 - 5 - 7t\prime  - t + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t)\\
 - ( - 7 + 3t\prime  + t) = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 - 7( - 5 - 7t\prime  - t) + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t)\\
 + 3( - 7 + 3t\prime  + t) = 0
\end{array}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 6t\prime  - 6t = 6}\\
{62t\prime  + 6t =  - 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t\prime  = 0}\\
{t =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy P(7; 3; 9), Q(3; 1; 1) và do đó, đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\frac{{x - 3}}{{7 - 3}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{z - 1}}{{9 - 1}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{4}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1