Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC

a) Đường thẳng d₁ đi qua M₁(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1;2; - 1)\)

Đường thẳng d₂ đi qua M₂(3; 1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} ( - 7;2;3)\)

Ta có: 

\(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = (5;4;7);[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ] = (8;4;16)\)

Do đó 

\([\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\)

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau

b) Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với cả d₁ và d₂. 

Mp(α) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\)

Vậy

\(\begin{array}{l}
\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0
\end{array}\)

Rõ ràng M₁, M₂ ∉ (α). Vậy (α) chính là mặt phẳng cần tìm.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ là:

\(\begin{array}{l}
d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\\
 = \frac{{168}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} 
\end{array}\)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của d₁ và d₂ với P ∈ d₁; Q ∈ d₂.

Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: P(8 + t; 5 + 2t; 8 − t), Q(3 − 7t′;1 + 2t′; 1 + 3t′)

Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\)

\(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0}\\
{\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 - 5 - 7t\prime  - t + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t)\\
 - ( - 7 + 3t\prime  + t) = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 - 7( - 5 - 7t\prime  - t) + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t)\\
 + 3( - 7 + 3t\prime  + t) = 0
\end{array}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 6t\prime  - 6t = 6}\\
{62t\prime  + 6t =  - 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t\prime  = 0}\\
{t =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy P(7; 3; 9), Q(3; 1; 1) và do đó, đường vuông góc chung của d₁ và d₂ có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\frac{{x - 3}}{{7 - 3}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{z - 1}}{{9 - 1}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{4}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247